Xét tập (A) gồm các số phức z thỏa mãn z − 2 z − 2 i ​ là số thuần ảo và các giá trị thực m, n thỏa mãn chỉ có duy nhất một số phức z ∈ ( A ) t h ỏ a m a ~ n ∣ z − m − ni ∣ = 2 ​ . Đặt M = max( m + n ) và N = min( m + n ). Tính P = M + N ?

Giải thích

G i ả s ử z = a + bi , ( a , b ∈ R ) t h ı ˋ ∣ z − 2 i ∣ = ∣ z + 2 + 4 i ∣ ⇔ a = b − 4 ( 1 ) T a c o ˊ z − 2 z − 2 i ​ = ( a − 2 ) + bi a + ( b − 2 ) i ​ = ( a − 2 ) 2 + b 2 [ a + ( b − 2 ) i ] [ a − ( b − 2 ) i ] ​ V ı ˋ z − 2 z − 2 i ​ l a ˋ s o ^ ˊ t h u a ^ ˋ n ả o n e ^ n a ( a − 2 ) + b ( b − 2 ) = 0 ⇔ ( a − 1 ) 2 + ( b − 1 ) 2 = 2 T a c u ~ n g c o ˊ ( a − m ) 2 + ( b − n ) 2 = 2 V ı ˋ c h ỉ c o ˊ d u y nh a ^ ˊ t m ộ t s o ^ ˊ p h ứ c t h ỏ a m a ~ n n e ^ n hai đư ờ n g t r o ˋ n ( C 1 ​ ) c o ˊ I 1 ​ ( 1 ; 1 ) , R 1 ​ = 2 ​ v a ˋ đư ờ n g t r o ˋ n ( C 2 ​ ) c o ˊ I 2 ​ ( m , n ) , R 2 ​ = 2 ​ t i e ^ ˊ p x u ˊ c nha u . V ậ y [ I 1 ​ I 2 ​ = R 1 ​ + R 2 ​ = 2 2 ​ I 1 ​ I 2 ​ = ∣ R 1 ​ − R 2 ​ ∣ = 0 ] T r ư ờ n g h ợ p I 1 ​ I 2 ​ = 0 ( kh o ^ n g t h ỏ a m a ~ n ) v ı ˋ l u ˊ c đ o ˊ hai đư ờ n g t r o ˋ n t r u ˋ n g nha u n e ^ n c o ˊ v o ^ s o ^ ˊ ( a ; b ) t h ỏ a m a ~ n ( a − 1 ) 2 + ( b − 1 ) 2 = 2. V ậ y I 1 ​ I 2 ​ = 2 2 ​ ⇔ ( a − m ) 2 + ( b − n ) 2 = 8. A ˊ p d ụ n g b a ^ ˊ t đ ẳ n g t h ứ c C a u c h y − S c h w a rz , t a c o ˊ : ∣ m + n − 2 ∣ = ∣ ( m − 1 ) + ( n − 1 ) ∣ ≤ ( 1 2 + 1 2 ) ( ( m − 1 ) 2 + ( n − 1 ) 2 ) ​ = 4 ⇒ − 4 ≤ m + n − 2 ≤ 4 ⇔ − 2 ≤ m + n ≤ 6 S u y r a { M = 6 N = − 2 } .