Câu hỏi

Xét các số thực dươngx,y,zthỏa mãn điều kiệnx+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $display style P equals fraction numerator x to the power of 2 end exponent not stretchy left parenthesis y plus z not stretchy right parenthesis over denominator y z end fraction plus fraction numerator y to the power of 2 end exponent not stretchy left parenthesis z plus x not stretchy right parenthesis over denominator z x end fraction plus fraction numerator z to the power of 2 end exponent not stretchy left parenthesis x plus y not stretchy right parenthesis over denominator x z end fraction$

R. Robo.Ctvx30

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Theo bất đẳng thứccôsi Nhân hai vế của (**) với (x+y) ta được hay y x 2 + x y 2 ≥ x + y ∀ x , y > 0 ( 1 ) Tương tự, ta có: z y 2 + y z 2 ≥ y + z ∀ y , z > 0 ( 2 ) x z 2 + z x 2 ≥ z + x ∀ x , z > 0 ( 3 ) Cộng từng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: Kết hợp với (*) ta được P ≥ 2 ( x + y + z ) = 2 , ∀ x , y , z > 0 ( v ı ˋ x + y + z = 1 ) Vậy P min = 2 dấu "=" xảy ra

$display style table attributes columnalign left columnspacing 1em rowspacing 4 pt end attributes row cell P equals fraction numerator x to the power of 2 end exponent not stretchy left parenthesis y plus z not stretchy right parenthesis over denominator y z end fraction plus fraction numerator y to the power of 2 end exponent not stretchy left parenthesis z plus x not stretchy right parenthesis over denominator z x end fraction plus fraction numerator z to the power of 2 end exponent not stretchy left parenthesis x plus y not stretchy right parenthesis over denominator x z end fraction end cell row cell equals fraction numerator x to the power of 2 end exponent y plus x to the power of 2 end exponent z over denominator y z end fraction plus fraction numerator y to the power of 2 end exponent z plus y to the power of 2 end exponent x over denominator z x end fraction plus fraction numerator z to the power of 2 end exponent x plus z to the power of 2 end exponent y over denominator x z end fraction plus z to the power of 2 end exponent over y end cell row cell equals x to the power of 2 end exponent over y plus x to the power of 2 end exponent over z plus y to the power of 2 end exponent over z plus y to the power of 2 end exponent over x plus z to the power of 2 end exponent over x plus z to the power of 2 end exponent over y not stretchy left parenthesis ∗ not stretchy right parenthesis end cell end table$

Theo bất đẳng thức côsi display style x to the power of 2 end exponent plus y to the power of 2 end exponent greater or equal than 2 square root of x to the power of 2 end exponent y to the power of 2 end exponent end root equals 2 x y

not stretchy left right double arrow x squared plus y squared minus x y greater or equal than x y comma straight for all x comma y element of straight real numbers text (**) end text

Nhân hai vế của (**) với (x+y) ta được open parentheses x squared plus y squared minus x y close parentheses left parenthesis x plus y right parenthesis greater or equal than x y left parenthesis x plus y right parenthesis

hay $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} \geq x + y \forall x, y > 0 (1)$

Tương tự, ta có:

$\frac{y ^{2}}{z} + \frac{z ^{2}}{y} \geq y + z \forall y, z > 0 (2) \frac{z ^{2}}{x} + \frac{x ^{2}}{z} \geq z + x \forall x, z > 0 (3)$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

display style x to the power of 2 end exponent over y plus x to the power of 2 end exponent over z plus y to the power of 2 end exponent over z plus y to the power of 2 end exponent over x plus z to the power of 2 end exponent over x plus z to the power of 2 end exponent over y greater or equal than 2 not stretchy left parenthesis x plus y plus z not stretchy right parenthesis

Kết hợp với (*) ta được $P \geq 2 (x + y + z) = 2, \forall x, y, z > 0 (v \overset{ı}{ˋ} x + y + z = 1)$

Vậy $P_{min} = 2$ dấu "=" xảy ra not stretchy left right double arrow open curly brackets table attributes columnspacing 1em end attributes row cell straight x plus straight y plus straight z equals 1 end cell row cell straight x equals straight y equals straight z end cell end table not stretchy rightwards double arrow straight x equals straight y equals straight z equals 1 third close

Câu hỏi tương tự

Xét ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 4 + y 4 + z 4

Xác nhận câu trả lời

Cho a là số thực dương, mệnh đề nào dưới đây đúng

Xác nhận câu trả lời

Cho đa giác đều A 1 A 2 … A 2 n nội tiếp đường tròn (O,R). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 , A 2 , … , A 2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 tro...

Xác nhận câu trả lời

Giải phương trình:

Xác nhận câu trả lời

Giải các phương trình sau

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG