Câu hỏi

Xét ABC là tập hợp các tam giác nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = tanA + tanB + tanC + tan 2 A tan 2 B tan 2 C

Xét ABC là tập hợp các tam giác nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = tanA + tanB + tanC + tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2}$

R. Robo.Ctvx27

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Rõ ràng trong một tam giác nhọn, ta có: tanA+tanB+tanC≥cot 2 A cot 2 B cot 2 C ( 1 ) Dấu bằng trong (1) xảy ra⇔ A = B= C Như vậy P ≥ cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C + cot 2 A cot 2 B cot 2 C 1 Trong mọi tam giác ta có cot 2 A cot 2 B cot 2 C = cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C ≥ 3 3 Từ (2) (3) (4) sau khi đặt x = cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C , ta có: P ≥ x + x 1 v ớ i x ≥ 3 3 Xét hàm số f ( x ) = x + x 1 ⇒ f ′ ( x ) = 1 − x 2 1 , nên có bảng biến thiên sau: Từ đó x ≥ 3 min = f ( 3 3 ) = 9 28 3 Kết hợp lại suy ra P ≥ 9 28 3 P = 9 28 3 ⇔ { A = B = C x = 3 3 ⇔ A = B = C Như thế minP = 9 28 3 ⇔ ABC là tam giác đều.

Rõ ràng trong một tam giác nhọn, ta có:
$tanA+tanB+tanC\geqcot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2} (1)$
Dấu bằng trong (1) xảy ra ⇔ A = B= C
Như vậy $P \geq cot \frac{A}{2} + cot \frac{B}{2} + cot \frac{C}{2} + \frac{1}{cot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2}}$
Trong mọi tam giác ta có $cot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2} = cot \frac{A}{2} + cot \frac{B}{2} + cot \frac{C}{2}$
$cot \frac{A}{2} + cot \frac{B}{2} + cot \frac{C}{2} \geq 33$
Từ (2) (3) (4) sau khi đặt $x = cot \frac{A}{2} + cot \frac{B}{2} + cot \frac{C}{2}$ , ta có: $P \geq x + \frac{1}{x} v ớ i x \geq 33$
Xét hàm số $f (x) = x + \frac{1}{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ , nên có bảng biến thiên sau:

Từ đó $x \geq 3 min = f (33) = \frac{28 3}{9}$
Kết hợp lại suy ra $P \geq \frac{28 3}{9}$
$P = \frac{28 3}{9} \Leftrightarrow {A = B = C x = 33 \Leftrightarrow A = B = C$
Như thế $minP = \frac{28 3}{9}$ ⇔ ABC là tam giác đều.

Câu hỏi tương tự

Cho hình hộp đứng A BC D . A 1 B 1 C 1 D 1 có các cạnh A B = A D = 2 , A A 1 = 3 và ∠ B A D = 6 0 ∘ .GọiM, Nlần lượt là trung điểm A 1 D 1 , A 1 B 1 a. Chứng minh rằng A C 1 v...

Xác nhận câu trả lời

Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là 1 tam giác vuông tại A và AC=b, góc C=60 o . Đồng thời đường chéo BC của mặt bên (BB'C'C) tạo với mp(AA'C'C) một góc 30 o . a. Tính độ dài đoạn AC b. ...

Xác nhận câu trả lời

Lấy S ∈ At ⊥ (ABC). Gọi I, K là trực tâm △ SBC, ABC.Nếu △ ABC không cân thì JH luôn đi qua 1 điểm cố định khi S ∈ At. Gọi điểm cố định là T. Chứng minh rằng : T A B = TC A

Xác nhận câu trả lời

Nếu tỉ số các cạnh tương ứng của hai tứ diện đồng dạng bằng k thì tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ấy bằng bao nhiêu?

Xác nhận câu trả lời

Lấy I là trung điểm của đoạn AB cố định. Gọi ( △ ) là một đường thẳng cách đều A và B. Tính V OHMI theo OI = d, OH = h và OM = t. Tìm t để V max .

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG