Câu hỏi

Xác định các tham số a, b sao cho hàm số y = x 2 + 1 a x + b đạt GTLN bằng 4 và đạt GTNN bằng–1.

Xác định các tham số a, b sao cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x ^{2} + 1}$ đạt GTLN bằng 4 và đạt GTNN bằng –1.

R. Robo.Ctvx27

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Số y 0 thuộc miền giá trị của hàm số khi phương trình: y 0 = x 2 + 1 a x + b ⇔ y 0 x 2 − a x + y 0 − b = 0 ( 1 ) có nghiệm. Theo yêu cầu bài toán ta có − 1 ≤ y 0 ≤ 4 ⇒ y 0 = 0 thuộc miền giá trị hàm số thì phương trình: ax + b = 0 phải có nghiệm. ⇔ [ a = 0 v a ˋ b = 0 ( l o ạ i ) a  = 0 v a ˋ ∀ b y 0  = 0 thuộc miền giá trị hàm số khi (1) có: △ = − 4 y 0 2 + 4 b y 0 + a 2 ≥ 0 ( 2 ) với − 1 ≤ y 0 ≤ 4 ( 1 ) Vậy (2) phải có 2 nghiệm y 0 = -1 và y 0 = 4 thỏa mãn điều kiện { ( − 1 ) ( 4 ) = − 4 a 2 ( − 1 ) + ( 4 ) = − 4 − 4 b 2 ⇔ { a = ± 4 b = 3 (a) và (b) suy ra: max y = 4 và min y = -1 khi a = 4 và b = 3 hoặc a = -4 và b = 3.

Số y₀ thuộc miền giá trị của hàm số khi phương trình: $y_{0} = \frac{a x + b}{x ^{2} + 1} \Leftrightarrow y_{0} x^{2} - a x + y_{0} - b = 0 (1)$ có nghiệm.
Theo yêu cầu bài toán ta có $- 1 \leq y_{0} \leq 4 \Rightarrow y_{0} = 0$ thuộc miền giá trị hàm số thì phương trình: ax + b = 0 phải có nghiệm.
$\Leftrightarrow [a = 0 v \overset{a}{ˋ} b = 0 (l o ạ i) a \neq = 0 v \overset{a}{ˋ} \forall b$
$y_{0} \neq = 0$ thuộc miền giá trị hàm số khi (1) có: $△ = - 4 y_{0}^{2} + 4 b y_{0} + a^{2} \geq 0 (2)$ với $- 1 \leq y_{0} \leq 4 (1)$
Vậy (2) phải có 2 nghiệm y₀= -1 và y₀ = 4 thỏa mãn điều kiện ${(- 1) (4) = \frac{a ^{2}}{- 4} (- 1) + (4) = \frac{- 4 b ^{2}}{- 4} \Leftrightarrow {a = \pm 4 b = 3$
(a) và (b) suy ra: max y = 4 và min y = -1 khi a = 4 và b = 3 hoặc a = -4 và b = 3.