Xác định các số nguyên dương m, n sao cho bảng m × n có thể lát được bởi các quân hình chữ L dưới đây

Giải thích

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử m 6 n. Để lát được bảng thì m > 2, n > 3. Giả sử ta có thể lát được bảng bởi a quân hình chữ L, ta có m.n = 4a. Vì m.n > 6 nên a > 2. Xét a = 2, ta có bảng 2 × 4. Bảng 2 × 4 có thể lát được bởi hai quân chữ hình L như hình vẽ dưới đây: Với a = 3 ta có m × n = 12 nên có hai bảng thỏa mãn là 2 × 6 và 3 × 4. Dễ dàng kiểm tra hai bảng này đều không lát được bởi các quân hình chữ L. Điều đó khiến ta dự đoán, để lát được bảng bởi các quân hình chữ L thì a chẵn. Để chứng minh dự đoán này ta tô màu các ô của bảng như sau: Giả sử được m chẵn. Các ô ở dòng có thứ tự lẻ (tính từ trên xuống dưới) được tô màu đen, có ô ở dòng có thứ tự chẵn được tô màu trắng. Khi đó, số ô đen và số ô trắng bằng nhau và bằng 2a. Mỗi quân hình chữ L lát vảo bảng chiếm 3 ô đen và 1 ô trắng hoặc chiếm 3 ô trắng và 1 ô đen. Giả sử lát được bởi x quan hình chữ L chiếm 3 ô đen và 1 ô trắng và y quân hình chữ L chiếm 3 ô trắng và 1 ô đen. Ta có hệ Suy ra x = y và a = 2x. Điều đó có nghĩa là a chẵn. Bây giờ ta chứng minh nếu a chẵn, tức là m × n chia hết cho 8 thì có thể lát được bảng bởi các quân hình chữ L. Thật vậy, nếu m chia hết cho 2 và n chia hết cho 4 thì bảng có thể thành có hình chữ nhật 2 × 4 nên lát được. Nếu m lẻ và n chia hết cho 8 thì do m có thể được viết dưới dạng m = 2s + 3 nên có thể chia bảng đã cho thành các hình chữ nhật 2 × 4 và 3 × 8. Do đó, nếu hình chữ nhật 3 × 8 lát được thì bảng đã cho sẽ lát được. Hình vẽ dưới đây chứng tỏ có thể lát được hình chữ nhật này Vậy để lát được bảng đã cho bởi các quân hình chữ L thì điều kiện cần và đủ là m × n chia hết cho 8 và m, n ≥ 2.