Câu hỏi
Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất.
Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình nón có
diện tích xung quanh lớn nhất.
R. Roboctvx82
Giáo viên
Giải thích
Xét mặt phẳng chứa trục SO của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo đường tròn lớn ngoại tiếp tam giác SAB. Áp dụng định lí hàm số sin => SA = SB = 2Rsina OB = SB.cosa= Rsin2a. Từ đó diện tích xung quanh hình nón là S xq =π(Rsin2a). (2Rsina) = 4πR 2 sin 2 acosα = 4πR 2 (1 - cos 2 a). Cosa Đặt f(t) = (1 − t 2 ).t với 0<t= cosa < 1. F(t) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi t= 3 1 = cos α. => tan a = 2 , khi đó OB SO = tan a = 2 =>SO=OB. 2 (*). Vậy hình nón có có đường cao và bán kính đáy thỏa mãn điều kiện(*) nội tiếp mặt cầu đã cho có diện tích xung quanh lớn nhất.
Xét mặt phẳng chứa trục SO của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo đường tròn lớn ngoại tiếp tam giác SAB.
Áp dụng định lí hàm số sin
=> SA = SB = 2Rsina
OB = SB.cosa = Rsin2a.
Từ đó diện tích xung quanh hình nón là
Sxq =π(Rsin2a). (2Rsina)
= 4πR2sin2acosα = 4πR2 (1 - cos2a). Cosa
Đặt f(t) = (1 − t2).t với 0<t= cosa < 1.
F(t) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi t= = cos α.
=> tan a = , khi đó= tan a = => SO=OB. (*).
Vậy hình nón có có đường cao và bán kính đáy thỏa mãn điều kiện(*) nội tiếp mặt cầu đã cho có diện tích xung quanh lớn nhất.
2
Câu hỏi tương tự
TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG
