Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ O x y , cho hình vuông A BC D , điểm G ( 3 ; 3 ) là trọng tâm tam giác A B D . Đường thẳng đi qua A vuông góc với BG và cắt B D tại điểm E ( 1 ; 3 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông A BC D biết rằng đỉnh A có tung độ lớn hơn 1.

Giải thích

Gọi M là trung điêm của cạnh AD, H là giao điêm của AE vàBM, Klà giao điêm của GE và AB Vi ) và BG ⊥ A E (gt) nên G là trực tâm tam giác A BE ⇒ GE ⊥ A B , GE / / AD Ta có A M K G ​ = BM BG ​ do KG / / AM và M D GE ​ = BM BG ​ do GE / / MD Suy ra A M K G ​ = M D GE ​ , mà A M = M D ⇒ K G = GE ⇒ là trung điểm của K E ⇒ { x K ​ = 2 x G ​ − x E ​ y K ​ = 2 y G ​ − y E ​ ​ ⇒ K ( 5 ; 3 ) . AB đi qua K(5 ; 3) và có một véctơ pháp tuyến EG = ( 2 ; 0 ) ⇒ A B : x − 5 = 0 . Vi A ∈ A B ⇒ A ( 5 ; y A ​ ) với y A ​ > 1 . Mặt khác K A G = 4 5 ∘ ⇒ △ A K G vuông cân nên K A = K G . ⇒ ( y A ​ − 3 ) 2 = 4 ⇒ [ y A ​ = 5 y A ​ = 1 ​ , m a ˋ y A ​ > 1 n e ˆ n A ( 5 ; 5 ) . Ta có: A C = 3 A G ⇒ { x C ​ − 5 = − 6 y C ​ − 5 = − 6 ​ ⇒ C ( − 1 ; − 1 ) . A D = 3 GE ⇒ { x D ​ − 5 = − 6 y D ​ − 5 = 0 ​ ⇒ D ( − 1 ; 5 ) A B = D C ⇒ { x B ​ − 5 = 0 y B ​ − 5 = − 6 ​ ⇒ B ( 5 ; − 1 ) . A B = D C ⇒ { x B ​ − 5 = 0 y B ​ − 5 = − 6 ​ ⇒ B ( 5 ; − 1 )