Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có phương trình cạnh C D : x + 3 y + 5 = 0 .Gọi M là trung điểm AB, H là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến MD, K là chân đường vuông góc kẻ từ B đến MC, đường thẳng AH cắt đường thẳng BK tại N ( 3 2 ​ ; 2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết điểm M thuộc d : 4 x − y − 1 = 0. và trung điểm E của MB có tọa độ E ( 0 ; 2 5 ​ ) .

Giải thích

Ta có △ A M D vuông tại A, AH là đường cao ⇒ A M 2 = M H . M D △ BMC vuông tại B → B M 2 = M K . MC . Mà AM = BM do đó M H . M D = M K . MC . Xét △ M KH và △ M D C ta có: { K M H : c h u n g MC M H ​ = M D M K ​ ​ → △ M HK ∼ △ M D C → M KH = I DH . Tứ giác MKNH có M K N + M H N = 9 0 ∘ + 90 = 18 0 ∘ → MKNH nội tiếp → M KH = MN H Ta có MN H = I DH ( = M KH ) → Tứ giác HNID nội tiếp → M I C = N HD = 9 0 ∘ → MN ⊥ C D . Phương trình đường thẳng MN qua N vuông góc CD là MN: 3 x − y = 0 Tọa độ M là nghiệm hệ { 4 x − y − 1 = 0 3 x − y = 0 ​ → M ( 1 ; 3 ) Vì E là trung điểm MB → { x B ​ = 2 x E ​ − x M ​ y B ​ = 2 y E ​ − y M ​ ​ → B ( − 1 ; 2 ) Vì M là trung điểm AB → { x A ​ = 2 x M ​ − x B ​ y A ​ = 2 y M ​ − y B ​ ​ → A ( 3 ; 4 ) . Phương trình cạnh AD là AD: 2 x + y − 10 = 0 → D ( 7 ; − 4 ) Phương trình cạnh BC là BC: 2 x + y = 0 → C ( 1 ; − 2 ) Vậy A(3;4); B(-1;2); C(1;-2); D(7;-4) là các điểm cần tìm.