Câu hỏi

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hình ( H 1 ) giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = − 2 x , x = 4 ; hình ( H 2 ) là tập hợp tất cả các điểm M ( x ; y ) thỏa mãn các điều kiện x 2 + y 2 ≤ 16 ; ( x − 2 ) 2 + y 2 ≥ 4 ; ( x + 2 ) 2 + y 2 ≥ 4 . Khi quay ( H 1 ) ; ( H 2 ) quanh Oxta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ , cho hình $(H_{1})$ giới hạn bởi các đường $y = 2 x, y = - 2 x, x = 4$ ; hình $(H_{2})$ là tập hợp tất cả các điểm $M (x; y)$ thỏa mãn các điều kiện $x^{2} + y^{2} \leq 16; (x - 2)^{2} + y^{2} \geq 4$ ; $(x + 2)^{2} + y^{2} \geq 4$ . Khi quay $(H_{1}); (H_{2})$ quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

$V_{2} = 2 V_{1}$
$V_{1} = V_{2}$
$V_{1} + V_{2} = 48 π$
$V_{2} = 4 V_{1}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta thấy đồ thị của 2 hàm số y = 2 x và y = − 2 x đối xứng nhau qua trục hoành nên khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng ( H 1 ) quanh trục Oxcũng là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục Ox. Do đó: Gọi ( C 1 ) là hình tròn tâm O bán kính R 1 = 4 , ( C 2 ) là hình tròn tâm I ( 2 ; 0 ) bán kính R 2 = 2 và ( C 3 ) là hình tròn tâm J ( − 2 ; 0 ) bán kính R 3 = 2 . Khi đó hình phẳng ( H 2 ) là phần nằm bên trong hình tròn ( C 1 ) nhưng nằm bên ngoài các hình tròn ( C 2 ) và ( C 3 ) . Gọi V 3 , V 4 , V 5 lần lượt là thể tích của các khối cầu có bán kính R 1 , R 2 , R 3 thì V 2 = V 3 − ( V 4 + V 5 ) Do đó V 2 = 3 4 π . 4 3 − ( 3 4 π . 2 3 + 3 4 π . 2 3 ) = 64 π Vậy V 2 = 4 V 1 .

Ta thấy đồ thị của 2 hàm số $y = 2 x$ và $y = - 2 x$ đối xứng nhau qua trục hoành nên khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng $(H_{1})$ quanh trục Ox cũng là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

quanh trục Ox.

Do đó:

Gọi $(C_{1})$ là hình tròn tâm O bán kính $R_{1} = 4$ , $(C_{2})$ là hình tròn tâm $I (2; 0)$ bán kính $R_{2} = 2$ và $(C_{3})$ là hình tròn tâm $J (- 2; 0)$ bán kính $R_{3} = 2$ . Khi đó hình phẳng $(H_{2})$ là phần nằm bên trong hình tròn $(C_{1})$ nhưng nằm bên ngoài các hình tròn $(C_{2})$ và $(C_{3})$ . Gọi $V_{3}, V_{4}, V_{5}$ lần lượt là thể tích của các khối cầu có bán kính $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ thì $V_{2} = V_{3} - (V_{4} + V_{5})$
Do đó $V_{2} = \frac{4 π . 4 ^{3}}{3} - (\frac{4 π . 2 ^{3}}{3} + \frac{4 π . 2 ^{3}}{3}) = 64 π$
Vậy $V_{2} = 4 V_{1}$ .