Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của B lên tia AI, HE cắt AC tại P. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết H(6;-4);P(11;1) và M(10;-4) là trung điểm của BC.

Giải thích

Nhận xét: Theo giả thiết thì H không thể trùng với M ⇒ ΔABC là tam giác thường. Kẻ đường kính AF của đường tròn (I) ⇒ ΔACF vuông tại C. Xét tứ giác AEHB có và cùng nhìn cạnh AB. ⇒ Tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm AB. ⇒ ABH = AEP Mà AFC = ABH (cùng nhìn cạnh AC). ⇒ AFC = AEP ⇒ HP ∥ FC . Lại có FC ⊥ A C ⇒ H P ⊥ A C . Có HP = ( 5 ; 5 ) = 5 ( 1 ; 1 ) . Chọn n A C ​ ​ = ( 1 ; 1 ) . P ( 11 ; 1 ) ∈ A C . ⇒ A C : x + y − 12 = 0. H M = ( 4 ; 0 ) . Do đường thẳng BC chứa H,M ⇒ n BC ​ → ​ = ( 0 ; 1 ) . H(6;-4)∈BC. ⇒ BC:y+4=0. Có C=BC∩AC⇒ tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình { x + y − 12 = 0 y + 4 = 0 ​ ⇔ { x = 16 y = − 4 ​ ⇒ C ( 16 ; − 4 ) Lại có M(10;-4) là trung điểm của BC⇒B(4;-4). Có AH⊥BC ⇒ n A H ​ → ​ = ( 1 ; 0 ) . H(6;-4)∈AH. ⇒ AH:x-6=0. Có A=AH∩AC⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình { x + y − 12 = 0 x − 6 = 0 ​ ⇔ { x = 6 y = 6 ​ ⇒ A ( 6 ; 6 ) Vậy A(6;6);B(4;-4);C(16;-4).