Câu hỏi

Trong không gian với hệ trục tọa độ O x yz , cho hai điểm A ( 0 ; − 1 ; − 1 ) , B ( − 1 ; − 3 ; 1 ) Giả sử C , D là hai điểm di động trên mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 sao cho C D = 4 và A , C , D thẳng hàng. Gọi S 1 , S 2 , lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BC D . Khi đó tổng S 1 + S 2 có giá trị bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x yz$ , cho hai điểm $A (0; - 1; - 1), B (- 1; - 3; 1)$ Giả sử $C, D$ là hai điểm di động trên mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z - 1 = 0$ sao cho $C D = 4$ và $A, C, D$ thẳng hàng. Gọi $S_{1}, S_{2}$ , lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác $BC D$ . Khi đó tổng $S_{1} + S_{2}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

$\frac{34}{3}$
$\frac{17}{3}$
$\frac{11}{3}$
$\frac{37}{3}$

N. Huỳnh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đáp án A + Vì A ( 0 ; − 1 ; − 1 ) nằm trên ( P ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ( P ) Lập đường thẳng d qua B vuông góc ( P ) có ptts Ta có 2 ( − 1 + 2 t ) + ( − 3 + t ) − 2 ( 1 − 2 t ) − 1 = 0 nên t = 9 8 , vậy H ( 9 7 ; − 9 19 ; − 9 7 ) Tính được B H = 3 8 + Gọi △ là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng ( P ) , K là hình chiếu B lên đường thẳng △ . + Vì C D = 4 cố định nên diện tích S BC D đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) tương ứng với độ dài BK nhỏ nhất (lớn nhất), tương đương HK nhỏ nhất (lớn nhất). Giá trị nhỏ nhất của S BC D đạt được khi B K = B H , khi đó S 1 = 2 1 .4. 3 8 = 3 16 Giá trị lớn nhất của S BC D đạt được khi B K = B A , khi đó S 2 = 2 1 C D . B A = 2 1 .4.3 = 6 Tổng S 1 + S 2 = 3 34

Đáp án A

+ Vì $A (0; - 1; - 1)$ nằm trên $(P) : 2 x + y - 2 z - 1 = 0$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên $(P)$

Lập đường thẳng d qua B vuông góc $(P)$ có ptts

Ta có $2 (- 1 + 2 t) + (- 3 + t) - 2 (1 - 2 t) - 1 = 0$ nên $t = \frac{8}{9}$ , vậy $H (\frac{7}{9}; - \frac{19}{9}; - \frac{7}{9})$

Tính được $B H = \frac{8}{3}$

+ Gọi $△$ là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng $(P)$ , K là hình chiếu B lên đường thẳng $△$ .

+ Vì $C D = 4$ cố định nên diện tích $S_{BC D}$ đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) tương ứng với độ dài BK nhỏ nhất (lớn nhất), tương đương HK nhỏ nhất (lớn nhất).
Giá trị nhỏ nhất của $S_{BC D}$ đạt được khi $B K = B H$ , khi đó $S_{1} = \frac{1}{2} .4. \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$