Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình 3 x + 1 ​ = − 4 y − 3 ​ = 2 z − 3 ​ và hai điểm M(1;3;-1), N(7;-5;3). Tìm điểm I thuộc d sao cho I M + I N nhỏ nhất

Giải thích

Đường thẳng d đi qua A(-1;3;3) có VTCP u = ( 3 ; − 4 ; 2 ) ; MN = ( 6 ; − 8 ; 4 ) ⇒ MN = 2 u M a ˋ M  ∈ d n e ^ n MN // d Gọi M' là điểm đối xứng của M qua d Phương trình mp ( α ) qua M(1;3;-1) với một VTPT n = u là 3 ( x − 1 ) − 4 ( y − 3 ) + 2 ( z + 1 ) = 0 ⇔ 3 x − 4 y + 2 z + 11 = 0 T a c o ˊ I M + I N = I M ′ + I N ≥ M ′ N n e ^ n ( I M + I N ) min ​ = M ′ N ⇔ I = M ′ N ∩ d Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = − 1 + 3 t y = 3 − 4 t z = 3 + 2 t 3 x − 4 y + 2 z + 11 = 0 ​ ⇒ t = − 29 2 ​ ⇒ H ( − 29 35 ​ ; 29 95 ​ ; 29 83 ​ ) ⇒ M ′ ( − 29 99 ​ ; 29 103 ​ ; 29 195 ​ ) T a t h a ^ ˊ y H I // MN ⇒ I l a ˋ t r u n g đ i ể m c ủ a M ′ N ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ​ x I ​ = 2 x M ′ ​ + x N ​ ​ = 2 − 29 99 ​ + 7 ​ = 29 52 ​ y I ​ = 2 y M ′ ​ + y N ​ ​ = 2 29 103 ​ − 5 ​ = − 29 21 ​ z I ​ = 2 z M ′ ​ + z N ​ ​ = 2 29 195 ​ + 3 ​ = 29 141 ​ ​ ⇒ I ( 29 52 ​ ; − 29 21 ​ ; 29 141 ​ )