Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z + 15 = 0 và mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 2 z − 22 = 0 . Tìm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là ngắn nhất

Giải thích

Phương trình của mặt cầu (S) viết lại là: ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 36 Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) bà bán kính R=6 d ( I , ( P ) ) = 1 + 4 + 4 ​ ∣ 3 − 2. ( − 2 ) + 2.1 + 15 ∣ ​ = 3 24 ​ = 8 T a t h a ^ ˊ y d ( I , ( P ) ) > R ⇒ m p ( P ) kh o ^ n g c a ˘ ˊ t m ặ t c a ^ ˋ u ( S ) Gọi △ là đường thẳng qua I và vuông góc mặt phẳng (P) ⇒ △ q u a I ( 3 ; − 2 ; 1 ) v a ˋ c o ˊ V TCP a = n = ( 1 ; − 2 ; 2 ) ⇒ P h ươ n g t r ı ˋ nh t ham s o ^ ˊ △ : ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = 3 + t y = − 2 − 2 t z = 1 + 2 t ​ ( ∗ ) Thế (*) vào phương trìnhmặt cầu (S) ta được: t 2 + 4 t 2 + 4 t 2 = 36 ⇔ t 2 = 4 ⇒ t = ± 2 V ậ y đư ờ n g t h ẳ n g △ c a ˘ ˊ t ( S ) t ạ i hai đ i ể m M 1 ​ ( 5 ; − 6 ; 5 ) ; M 2 ​ ( 1 ; 2 ; − 3 ) T a t h a ^ ˊ y d ( M 1 ​ , ( P ) ) = 1 + 4 + 4 ​ ∣ 5 − 2. ( − 6 ) + 2.5 + 15 ∣ ​ = 3 6 ​ = 2 ⇒ d ( M 2 ​ , ( P ) ) < d ( M 1 ​ , ( P ) ) V ậ y đ i ể m c a ^ ˋ n t ı ˋ m l a ˋ M 2 ​ ( 1 ; 2 ; − 3 )