Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 12 và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

Giải thích

Chọn B ( α ) // ( P ) ⇒ ( α ) : 2 x + 2 y − z + d = 0 ( d  = − 3 ) . Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2; 3), bán kính R = 2 3 ​ . Gọi (H) là khối nón thỏa đề bài với đường sinh l = R = 2 3 ​ . Đặt x = h = d ( I , ( α )) . Khí đó bán kính đường tròn đáy hình nón : r = 12 − x 2 ​ . Thể tích khối nón: V ( H ) ​ = 3 1 ​ π ( 12 − x 2 ) x , với 0 < x < 2 3 ​ . Xét sự biến thiên của hàm số : f ( x ) = 3 1 ​ π ( 12 − x 2 ) x trên 0 < x < 2 3 ​ . Khi đó f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x=2, hay d ( I , ( α )) = 2 Vậy : d ( I , ( α )) = 2 ⇔ 2 2 + 2 2 + ( − 1 ) 2 ​ ∣2.1 + 2. ( − 2 ) − 3 + d ∣ ​ = 2 ⇔ [ d − 5 = 6 d − 5 = − 6 ​ ⇔ [ d = 11 d = − 1 ​ ​