Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm M ( 0 ; − 2 ; − 1 ) , N ( 1 ; 0 ; − 3 ) và mặt cầu . ( S ) : ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 9 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M, N và mặt cầu (S) tại duy nhất một điểm.

Giải thích

Mặt cầu (S) có tâm I ( 1 ; 1 ; 1 ) và bán kính R=3. Do (P) có vectơ pháp tuyến là n p ​ ​ = ( a , b , c ) , a 2 + b 2 + c 2  = 0 . Do (P) đi qua điểm M nên phương trình ( P ) : a x + b ( y + 2 ) + c ( z + 1 ) = 0 , mặt khác (P) đi qua điểm N suy ra a + 2 b − 2 c = 0 ⇒ a = 2 c − 2 b . (P) cắt (S) tại đúng một điểm khi và chủ khi (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ​ ∣ a + 3 b + 2 c ∣ ​ = 3 ⇔ ( 2 c − 2 b ) 2 + b 2 + c 2 ​ ∣ b + 4 c ∣ ​ = 3 ⇔ 44 b 2 − 80 b c + 29 c 2 = 0 ⇔ ( 2 b − c ) ( 22 b − 29 c ) = 0 ⇔ 2 b = c ; 22 b = 29 c TH1: Nếu 2 b − c = 0 , c h ọ n b = 1 , c = 2 ⇒ a = 2 ⇒ ( P ) : 2 x + y + 2 z + 4 = 0 TH2: Nếu 22 b = 29 c , c h ọ n b = 29 , c = 22 ⇒ a = − 14 ⇒ ( P ) : − 14 x + 29 y + 22 z + 80 = 0