Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1 ; 4 ; 5 ) , B ( 3 ; 4 ; 0 ) , C ( 2 ; − 1 ; 0 ) và mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y − 2 z − 12 = 0 . Gọi M ( a ; b ; c ) thuộc (P) sao cho M A 2 + M B 2 + 3 M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c

Giải thích

Đáp án A Gọi I ( x ; y ; z ) là điểm thỏa mãn I A + I B + 3 I C = 0 Ta có: I A = ( 1 − x ; 4 − y ; 5 − z ) , I B = ( 3 − x ; 4 − y ; − z ) v a ˋ 3 I C = ( 6 − 3 x ; − 3 − 3 y ; − 3 z ) Từ ta có hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ ​ 1 − x + 3 − x + 6 − 3 x = 0 4 − y + 4 − y − 3 − 3 y = 0 5 − z − z − 3 z = 0 ​ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = 2 y = 1 z = 1 ​ ⇒ I ( 2 ; 1 ; 1 ) Khi đó: M A 2 = M A 2 = ( M I + I A ) 2 = M I 2 + 2 M I . I A + I A 2 M B 2 = MB 2 = ( M I + I B ) 2 = M I 2 + 2 M I . I B + I B 2 3 M C 2 = 3 MC 2 = ( M I + I C ) 2 = 3 ( M I 2 + 2 M I . I C + I C 2 ) do đó: S = M A 2 + M B 2 + 3 M C 2 = 5 M I 2 + I A 2 + I B 2 + 3 I C 2 Do I A 2 + I B 2 + 3 I C 2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y − 2 z − 12 = 0 Vectơ chỉ phương của IM là n = ( 3 ; − 3 ; − 2 ) Phương trình tham số của IM là: ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = 2 + 3 t y = 1 − 3 t z = 1 − 2 t ​ , ( t ∈ R ) Gọi M ( 2 + 3 t ; 1 − 3 t ; 1 − 2 t ) ∈ ( P ) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) Khi đó: 3 ( 2 + 3 t ) − 3 ( 1 − 3 t ) − 2 ( 1 − 2 t ) − 12 = 0 ⇔ 22 t − 11 = 0 ⇔ t = 2 1 ​ Suy ra: M ( 2 7 ​ ; − 2 1 ​ ; 0 ) . Vậy a + b + c = 2 7 ​ − 2 1 ​ = 3