Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1 ; 4 ; 5 ) , B ( 3 ; 4 ; 0 ) , C ( 2 ; − 1 ; 0 ) và mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y − 2 z − 12 = 0 . Gọi M ( a ; b ; c ) thuộc (P) sao cho M A 2 + M B 2 + 3 M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;4;5),B(3;4;0),C(2;−1;0) và mặt phẳng (P):3x−3y−2z−12=0. Gọi M(a;b;c) thuộc (P) sao cho MA2+MB2+3MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c
3
2
- 2
- 3
NH
N. Huỳnh
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Đáp án A
Gọi I ( x ; y ; z ) là điểm thỏa mãn I A + I B + 3 I C = 0
Ta có: I A = ( 1 − x ; 4 − y ; 5 − z ) , I B = ( 3 − x ; 4 − y ; − z ) v a ˋ 3 I C = ( 6 − 3 x ; − 3 − 3 y ; − 3 z )
Từ ta có hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ 1 − x + 3 − x + 6 − 3 x = 0 4 − y + 4 − y − 3 − 3 y = 0 5 − z − z − 3 z = 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = 1 z = 1 ⇒ I ( 2 ; 1 ; 1 )
Khi đó: M A 2 = M A 2 = ( M I + I A ) 2 = M I 2 + 2 M I . I A + I A 2
M B 2 = MB 2 = ( M I + I B ) 2 = M I 2 + 2 M I . I B + I B 2
3 M C 2 = 3 MC 2 = ( M I + I C ) 2 = 3 ( M I 2 + 2 M I . I C + I C 2 )
do đó: S = M A 2 + M B 2 + 3 M C 2 = 5 M I 2 + I A 2 + I B 2 + 3 I C 2
Do I A 2 + I B 2 + 3 I C 2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y − 2 z − 12 = 0
Vectơ chỉ phương của IM là n = ( 3 ; − 3 ; − 2 )
Phương trình tham số của IM là: ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 3 t y = 1 − 3 t z = 1 − 2 t , ( t ∈ R )
Gọi M ( 2 + 3 t ; 1 − 3 t ; 1 − 2 t ) ∈ ( P ) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
Khi đó: 3 ( 2 + 3 t ) − 3 ( 1 − 3 t ) − 2 ( 1 − 2 t ) − 12 = 0 ⇔ 22 t − 11 = 0 ⇔ t = 2 1
Suy ra: M ( 2 7 ; − 2 1 ; 0 ) . Vậy a + b + c = 2 7 − 2 1 = 3
Đáp án A
Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn IA+IB+3IC=0
Ta có: IA=(1−x;4−y;5−z),IB=(3−x;4−y;−z)vaˋ3IC=(6−3x;−3−3y;−3z)
Từ ta có hệ phương trình: ⎩⎨⎧1−x+3−x+6−3x=04−y+4−y−3−3y=05−z−z−3z=0⇔⎩⎨⎧x=2y=1z=1⇒I(2;1;1)
Khi đó: MA2=MA2=(MI+IA)2=MI2+2MI.IA+IA2
MB2=MB2=(MI+IB)2=MI2+2MI.IB+IB2
3MC2=3MC2=(MI+IC)2=3(MI2+2MI.IC+IC2)
do đó: S=MA2+MB2+3MC2=5MI2+IA2+IB2+3IC2
Do IA2+IB2+3IC2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P):3x−3y−2z−12=0
Vectơ chỉ phương của IM là n=(3;−3;−2)
Phương trình tham số của IM là: ⎩⎨⎧x=2+3ty=1−3tz=1−2t,(t∈R)
Gọi M(2+3t;1−3t;1−2t)∈(P) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
Khi đó: 3(2+3t)−3(1−3t)−2(1−2t)−12=0⇔22t−11=0⇔t=21