Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.

Giải thích

A B = ( − 6 ; 3 ; 3 ) , A C = ( − 4 ; 2 ; − 4 ) , A D = ( − 2 ; 3 ; − 3 ) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Phương trình của mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2 a x + 2 b y + 2 cz + d = 0. Điểm A(6; -2; 3) ∈ (S) ⇒ 6 2 + ( − 2 ) 2 + 3 2 + 12 a − 4 b + 6 c + d = 0. Điểm B(0; 1; 6) ∈ (S) ⇒ 1 2 + 6 2 + 2 b + 12 c + d = 0. Điểm C(2; 0; -1) ∈ (S) ⇒ 2 2 + ( − 1 ) 2 + 4 a − 2 c + d = 0. Điểm D(4; 1; 0) ∈ (S) ⇒ 42 + 12 + 8 a + 2 b + d = 0. Từ trên ta có hệ phương trình sau: ⎩ ⎨ ⎧ ​ 12 a − 4 b + 6 c + d = − 49 2 b + 12 c + d = − 37 4 a − 2 c + d = − 5 8 a + 2 b + d = − 17 ​ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ a = − 2 b = 1 c = − 3 d = − 3 ​ Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 3 = 0 Tham số t ứng với giao điểm I' của △ và mặt phẳng (ABC) là nghiệm của phương trình: ( 2 + t ) + 2 ( − 2 + 2 t ) − 2 = 0 ⇒ t = 3 2 ​ Vậy I ′ = ( 5 12 ​ ; − 5 1 ​ ; 3 ) . Đó chính là tâm của đường tròn (C). Gọi r là bán kính của (C) thì: r = R 2 − π 2 ​ (R là bán kính của (S)). = 17 − [ ( 5 12 ​ − 2 ) 2 + ( − 5 1 ​ + 1 ) 2 + ( 3 − 3 ) 2 ] ​ = 5 405 ​ ​ .