Câu hỏi

Trong không gian với hệ tọa độ ( O x yz ) , cho hai điểm A ( 2 ; − 1 ; − 1 ) , B ( 0 ; 1 ; − 2 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z − 2 = 0 . Điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho A MB lớn nhất thì giá trị của cos A MB bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $(O x yz)$ , cho hai điểm $A (2; - 1; - 1), B (0; 1; - 2)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z - 2 = 0$ . Điểm M thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $A MB$ lớn nhất thì giá trị của $cos A MB$ bằng

$- \frac{5}{13}$
$- \frac{12}{13}$
$\frac{12}{13}$
$\frac{5}{13}$

R. Robo.Ctvx5

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có A B = ( − 2 ; 2 ; − 1 ) , A B = 3 và nên hay A B ∥ ( P ) . Gọi I là trung điểm của . Xét mặt cầu ( S ) đường kính AB. Do . Nên mặt cầu ( S ) sẽ cắt mặt phẳng ( P ) theo một đường tròn có tâm H là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( P ) và bán kính r = 4 A B 2 − d 2 = 2 5 . Xét điểm M bất kỳ thuộc mặt phẳng ( P ) nằm ngoài đường tròn tâm H bán kính r = 2 5 . Gọi M' là giao điểm của IM và mặt cầu ( S ) , khi đó A MB < A M ′ B = 9 0 ∘ . Vậy M thuộc mặt phẳng ( P ) nằm trong đường tròn tâm H bán kính r = 2 5 . Ta có cot A MB = 4 S A MB M A 2 + M B 2 − A B 2 ; M A 2 + M B 2 = 2 M I 2 + 2 A B 2 Do M I 2 ≥ H I 2 = 1 và cot A MB < 0 . Nên để AMB lớn nhất thì M ≡ H và

Ta có $A B = (- 2; 2; - 1), A B = 3$ và italic n with not stretchy rightwards arrow on top subscript P equals left parenthesis 2 semicolon 1 semicolon − 2 right parenthesis nên stack italic A B with rightwards arrow on top ⋅ italic n with not stretchy rightwards arrow on top equals − 4 plus 2 plus 2 equals 0 hay $A B ∥ (P)$ .
Gọi I là trung điểm của italic A B not stretchy comes from I open parentheses 1 semicolon 0 semicolon − 3 over 2 close parentheses .

Xét mặt cầu $(S)$ đường kính AB.
Do $italic d left parenthesis I comma open parentheses P close parentheses right parenthesis equals fraction numerator open vertical bar 2 cross times 1 − 0 − 2 cross times open parentheses − 3 over 2 close parentheses − 2 close vertical bar over denominator square root of 2 squared plus 1 squared plus left parenthesis − 2 right parenthesis squared end root end fraction equals 3 over 3 less than fraction numerator italic A B over denominator 2 end fraction equals 3 over 2$ .
Nên mặt cầu $(S)$ sẽ cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn có tâm H là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(P)$ và bán kính $r = \frac{A B ^{2}}{4} - d^{2} = \frac{5}{2}$ .
Xét điểm M bất kỳ thuộc mặt phẳng $(P)$ nằm ngoài đường tròn tâm H bán kính $r = \frac{5}{2}$ .
Gọi M' là giao điểm của IM và mặt cầu $(S)$ , khi đó $A MB < A M^{'} B = 9 0^{\circ}$ .
Vậy M thuộc mặt phẳng $(P)$ nằm trong đường tròn tâm H bán kính $r = \frac{5}{2}$ .
Ta có

$cot A MB = \frac{M A ^{2} + M B ^{2} - A B ^{2}}{4 S _{A MB}}; M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$

$not stretchy comes from cot invisible function application italic A italic M B equals fraction numerator 2 italic M I squared − fraction numerator italic A B squared over denominator 2 end fraction over denominator 4 S subscript italic A italic M B end subscript end fraction$

Do italic d left parenthesis italic M comma italic A B right parenthesis greater or equal than H I not stretchy comes from S subscript italic A italic M B end subscript greater or equal than S subscript italic A H B end subscript equals 1 half ⋅ 1 ⋅ 3 equals 3 over 2 comma $M I^{2} \geq H I^{2} = 1$ và $cot A MB < 0$ .
Nên để AMB lớn nhất thì $M \equiv H$ và $cot invisible function application italic A italic M B equals fraction numerator 2 − 9 over 2 over denominator 4 cross times 3 over 2 end fraction equals − 5 over 12 not stretchy comes from cos invisible function application italic A italic M B equals − 5 over 13$

Câu hỏi tương tự

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mỗi giá trị y luôn tồn tại không quá 15 số nguyên x thỏa mãn điều kiện ?

Xác nhận câu trả lời

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của B lên tia AI, HE cắt AC tại P. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết H(6;-4);P(11;1...

Xác nhận câu trả lời

Cho tam giác ABC mà độ dài a, b, c của các cạnh của nó thỏa mãn a 3 4 + b 3 4 = c 3 4 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác có một góc tù

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình lần lượt là: 2 x + n y + 2 z + 3 = 0 v a ˋ m x + 2 y − 4 z + 6 = 0 1. Xác định giá trị của m và n để hai mặtphẳng...

Xác nhận câu trả lời

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( d ) : 2 x − 1 = 1 y + 3 = − 2 z − 4 ( d ′ ) : 1 x + 2 = − 2 y − 1 = 2 z + 1 Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d) và (d') là...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện