Trong kh ô ng gian v ớ i h ệ t ọ a độ Để -c á c vu ô ng g ó c Oxyz cho h ì nh chop t ứ gi á c đê u S.ABCD , biêt S(3;2;4),B(1;2;3),D(3;0;3) . L â p ph ươ ng tr ì nh đườ ng vu ô ng g ó c chung c ủ a hai đườ ng th ẳ ng AC v à SD . G ọ i 1 l ả t â m m ặ t câu ngo ạ i tiêp h ì nh ch ó p S.ABCD .L ậ p ph ươ ng tr ì nh m ặ t ph ẳ ng qua BI v à song song v ớ i AC . 3 G ọ i H l à trung đ i ể m c ù a BD,G l à tr ự c t â m tam gi á c SCD . T ì nh độ d à i HG .

Giải thích

Ke HK⊥SD . Do AC⊥SH,AC⊥BD suy ra: AC⊥mp(SBD)⇒AC⊥HK . V ạ y HK l à đườ ng vu ô ng g ô c chung c ủ a AC v à SD . HK l à giao tuyên c ủ a mp(SBD) v à m ặ t ph ẳ ng ( α ) ch ứ a H vu ô ng g ó c v ớ i SD . H l à trung đ i ể m BD n ê n H(2;;3) . Ta c ó : DS =(0;2;), BS =(2;0;) , suy ra vect ơ ph á p tuyên c ủ a mp(SBD) l à : V ậ y m ặ t ph ẳ ng (SBD) c ó ph ươ ng tr ì nh: 1. ( x − 3 ) + 1 ⋅ ( y − 2 ) − 2 ⋅ ( z − 4 ) = 0 ⇔ x + y − 2 z + 3 = 0 M ạ̀ t ph ẳ ng ( α ) c ó ph ươ ng trinh: 2. I c á ch đê u A,B,C,D n ê n I thu ộ c đườ ng th ẳ ng SH . Ta c ó HS =(1;1;1) n ê n ph ươ ng trinh c ủ a SH l à : 1 x − 2 ​ = 1 y − 1 ​ = 1 z − 3 ​ ⇔ x − 2 = y − 1 = z − 3. I c á ch để u S , B n ê n n ằ m tr ê n m ặ t ph ẳ ng trung tr ự c ( β ) c ù a SB . G ọ i M l à trung đ i ể m c ủ a SB ta c ó M ặ t ph ẳ ng β c ó ph ươ ng trinh V ậ y t ọ a độ c ủ a I l à nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trinh: T ừ đó đườ ng th ẳ ng BI c ó vect ơ ch ì ph ươ ng BI = 6 1 ​ ( 7 ; − 5 ; 1 ) C ó th ể lây n ( ờ tr ê n) l à m vect ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a đườ ng th ẳ ng AC . V ậ y ph ươ ng tr ì nh m ặ t ph ẳ ng ch ứ a BI v à song song AC l à : Giao đ iêm c ủ a hai đườ ng cao SR,DP c ủ a △SBC⇒R l à trung đ i ể m cta DC⇒HR⊥DC⇒DC⊥mp(SRH)⇒DC⊥HG , △PDC=△PBC( c.g.c) ⇒BP⊥SC (c ủ ng v ớ i DP⊥SC ) =SC⊥mp(DPB)⇒SC⊥HG . V â y HG⊥mp(SCD) ≈SG⊥SR . X é t tam gi á c SHR vu ô ng t ạ i H ta c ó : HG 2 1 ​ = HR 2 1 ​ + SH 2 1 ​ ⇒ HG 2 = SH 2 + RH 2 HR 2 ⋅ SH 2 ​ . Ta c ó : SH 2 = 3 ; BD = 2 2 + 2 2 + 0 2 ​ = 2 2 ​ ⇒ AD = 2 ⇒ HR = 1 . V ạ y HG 2 − 3 + 1 1.3 ​ − 4 3 ​ ⇒ HG ⋅ 2 3 ​ ​ .