Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2 1 ; 2 3 ; 0 ) và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8 .Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S)tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(21;23;0) và mặt cầu (S):x2+y2+z2=8. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB
S=7
S=4
S=27
S=22
NH
N. Huỳnh
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Đáp án A
Mặt cầu (S)có tâm O ( 0 ; 0 ; 0 ) và bán kính R = 2 2
Vì OM = 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu (S). Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB .
Đặt x = O H , ta có 0 < x ≤ OM = 1 , đồng thời H A = R 2 − O H 2 = 8 − x 2 .Vậy diện tích tam giác OAB là
S O A B = 2 1 O H . A B = O H . H A = x 8 − x 2
Khảo sát hàm số f ( x ) = x 8 − x 2 trên ( 0 ; 1 ] , ta được ( 0 ; 1 ] ma x f ( x ) = f ( 1 ) = 7
Vậy giá trị lớn nhất của S △ O A B = 7 , đạt được khi x = 1 ha y H ≡ M ,nói cách khác là d ⊥ OM
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R=22
Vì OM=1<R nên M thuộc miền trong của mặt cầu (S). Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB .
Đặt x=OH, ta có 0<x≤OM=1, đồng thời HA=R2−OH2=8−x2. Vậy diện tích tam giác OAB là SOAB=21OH.AB=OH.HA=x8−x2
Khảo sát hàm số f(x)=x8−x2 trên (0;1], ta được (0;1]maxf(x)=f(1)=7
Vậy giá trị lớn nhất của S△OAB=7 , đạt được khi x=1hayH≡M , nói cách khác là d⊥OM