Câu hỏi

Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3;1;1 . Mặt phẳng P đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Ozlần lượt tại các điểm A a;0;0, B 0;b;0, C 0;0;c. Biết OA= 2OB và thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức S = a + b + cbằng

Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3;1;1 . Mặt phẳng P đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A a;0;0, B 0;b;0, C 0;0;c. Biết OA = 2OB và thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức S = a + b + c bằng

$\frac{57}{4}$
14
$\frac{59}{4}$
$\frac{29}{2}$

R. Robo.Ctvx27

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

A. 4 57 Gọi phương trình mặt phẳng P là a x + b y + c z = 1 với a, b. c > 0. OA = 2OB⇒ a = 2b. Mặt phẳng P đi qua M nên a 3 + b 1 + c 1 = 1 Thể tích khối tứ diện OABC là V O A BC = 6 1 O A . OB . OC = 6 1 ab c = 3 1 b 2 c Ta có: 1 = a 3 + b 1 + c 1 = 2 b 3 + b 1 + c 1 = 2 b 5 + c 1 = 4 b 5 + 4 b 5 + c 1 ≥ 3. 3 16 b 2 c 25 ⇔ 27 1 ≥ 16 b 2 c 25 ⇔ b 2 c ≥ 16 675 Do đó V O A BC = 3 1 b 2 c ≥ 16 225 , ∀ b , c > 0 Dấu bằng xảy ra khi ⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b 4 b 5 = c 1 = 3 1 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ a = 2 15 b = 4 15 c = 3 S = a + b + c = 4 57

A. $\frac{57}{4}$

Gọi phương trình mặt phẳng P là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ với a, b. c > 0.
OA = 2OB ⇒ a = 2b.
Mặt phẳng P đi qua M nên $\frac{3}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$
Thể tích khối tứ diện OABC là $V_{O A BC} = \frac{1}{6} O A . OB . OC = \frac{1}{6} ab c = \frac{1}{3} b^{2} c$
Ta có:
$1 = \frac{3}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{2 b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{5}{2 b} + \frac{1}{c} = \frac{5}{4 b} + \frac{5}{4 b} + \frac{1}{c} \geq 3. 3 \frac{25}{16 b ^{2} c} \Leftrightarrow \frac{1}{27} \geq \frac{25}{16 b ^{2} c} \Leftrightarrow b^{2} c \geq \frac{675}{16}$
Do đó $V_{O A BC} = \frac{1}{3} b^{2} c \geq \frac{225}{16}, \forall b, c > 0$
Dấu bằng xảy ra khi $⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b \frac{5}{4 b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{15}{2} b = \frac{15}{4} c = 3$
$S = a + b + c = \frac{57}{4}$

Câu hỏi tương tự

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;0;1) , B(3;−2;0), C(1;2;−5) . Mặt phẳng ( α ) : a x + b y + cz − 24 = 0 qua C và d ( A , ( α )) + 2 d ( B , ( α )) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá t...

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1), B(2;1;0) , C(2;0;2) . Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(2;−1;2) và song song với mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 3 z + 2 = 0 có phương trình là

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 3 t y = − 3 + t z = 4 − 2 t và d ′ : 3 x − 4 = 1 y + 1 = − 2 z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường th...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện