Câu hỏi

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 3 ; − 2 ; 0 ) , B ( − 1 ; 2 ; 4 ) . Xét (T) nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB. Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (3; - 2; 0), B (- 1; 2; 4)$ . Xét (T) nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB. Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?

$C (0; - 1; - 23)$
$C (0; - 1; 23)$
$C (1; 0; - 23)$
$C (- 1; 0; 23)$

R. Robo.Ctvx27

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

D . C ( − 1 ; 0 ; 2 3 ) Ta có: A B ( − 4 ; 4 ; 4 ) . Bán kính mặt cầu R = 2 1 A B = 2 1 ( − 4 ) 2 + 4 2 + 4 2 = 2 3 Gọi O ( 1 ; 0 ; 2 ) là tâm của mặt cầu Gọi h là chiều cao của trụ, r là bán kính đáy của trụ Ta có: V T = π r 2 h = π ( R 2 − 4 h 2 ) h = f ( h ) Xét hàm số f(h) có: f ′ ( h ) = π R 2 − 4 3 π h 2 = 0 ⇔ h = 3 2 R 3 Suy ra: V T ( m a x ) khi h = 3 2 R 3 = 4 Gọi (P) là mặt phẳng chứa đáy của trụ, suy ra mp (P) nhận AB ( − 4 ; 4 ; 4 ) làm VTPT và cách O một khoảng bằng 2. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng là − 4 x + 4 y + 4 z + D = 0 d ( ( P ) , O ) = ( − 4 ) 2 + 4 2 + 4 2 ∣ − 4.1 + 4.0 + 4.2 + D ∣ = 4 3 ∣ 4 + D ∣ ⇔ [ D = − 4 − 8 3 D = − 4 + 8 3 Do đó: ( P 1 ) : − 4 x + 4 y + 4 z − 4 − 8 3 = 0 ( P 2 ) : − 4 z + 4 y + 4 z − 4 + 8 3 = 0 Thay các đáp án, ta thấy đáp án D nằm trên ( P 1 )

$D . C (- 1; 0; 23)$

Ta có: $A B (- 4; 4; 4)$ . Bán kính mặt cầu $R = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} (- 4)^{2} + 4^{2} + 4^{2} = 23$

Gọi $O (1; 0; 2)$ là tâm của mặt cầu

Gọi h là chiều cao của trụ, r là bán kính đáy của trụ

Ta có: $V_{T} = π r^{2} h = π (R^{2} - \frac{h ^{2}}{4}) h = f (h)$

Xét hàm số f(h) có: $f^{'} (h) = π R^{2} - \frac{3 π}{4} h^{2} = 0 \Leftrightarrow h = \frac{2 R 3}{3}$

Suy ra: $V_{T (m a x)} khi h = \frac{2 R 3}{3} = 4$

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đáy của trụ, suy ra mp (P) nhận $AB (- 4; 4; 4)$ làm VTPT và cách O một khoảng bằng 2.

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng là $- 4 x + 4 y + 4 z + D = 0$

$d ((P), O) = \frac{∣ - 4.1 + 4.0 + 4.2 + D ∣}{( - 4 ) ^{2} + 4 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣ 4 + D ∣}{4 3} \Leftrightarrow [D = - 4 - 83 D = - 4 + 83$

Do đó: $(P_{1}) : - 4 x + 4 y + 4 z - 4 - 83 = 0$

$(P_{2}) : - 4 z + 4 y + 4 z - 4 + 83 = 0$

Thay các đáp án, ta thấy đáp án D nằm trên $(P_{1})$

Câu hỏi tương tự

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;−3;2) , B(−2;1;−3) . Xét hai điểm M, N thay đổi trong mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của ∣ A M − BN ∣ bằng

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;4;5) , B(0;3;1) , C(2;−1;0) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z − 9 = 0 . Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức T = M A 2 + M B 2 + M C 2 đ...

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( △ ) : − 1 x − 1 = 2 y = 1 z + 1 và mặt phẳng ( α ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 . Biết mặt phẳng (P) chứa ( △ ) và tạo với ( α ) một góc nhỏ nh...

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 27 . Gọi ( α ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0;−4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao c...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện