Câu hỏi

Trong kh ô ng gian cho c á c đ i ể m A,B,C theo th ứ t ự thu ộ c c á c tia 0x,Oy , Oz vu ô ng g ó c v ớ i nhau t ù ng đô i m ộ t sao cho OA=a(a>0 ) , OB = a 2 , OC=c(c>0) . . G ọ i D l à đ inh đô i di ệ n v ớ i O c ủ a hinh ch ừ nh ậ t AOBD v à M l à trung di ể m c ủ a đ o ạ n BC . (P) l à m ạ̉ t ph ẳ ng đ i qua A,N v à căt m ặ t ph ẳ ng (OCD) theo m ộ t đườ ng th ẳ ng vu ô ng g ó c v ớ i đ ur ờ ng th ẳ ng AM . G ọ i E l à giao đ i ể m c ủ a (P) v ớ i đườ ng th ẳ ng OC : t í nh độ đà i đ o ạ n th ẳ ng OE . T í nh ti sôth ể t í ch c ủ a hai khôi đ a di ệ n đượ c t ạ o th ả nh khi căt khôi ch ó p C.AOBD b ờ i m ặ t ph ẳ ng (P) . T ỉ nh kho ả ng c á ch t ừ đ i ể m C đế n m ặ t ph ẳ ng (P) .

Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia 0x,Oy, Oz vuông góc với nhau tùng đôi một sao cho OA=a(a>0 ) , $OB = a 2$ ,
OC=c(c>0). . Gọi D là đinh đôi diện với O của hinh chừ nhật AOBD và M là trung diểm của đoạn BC. (P) là mạ̉t phẳng đi qua A,N và căt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đurờng thẳng AM.

Gọi E là giao điểm của (P) với đường thẳng OC : tính độ đài đoạn thẳng OE.
Tính ti sô thể tích của hai khôi đa diện được tạo thảnh khi căt khôi chóp C.AOBD bời mặt phẳng (P).Tỉnh khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P)

R. Roboctvx97

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ch ọ n Oxyz l à h ệ tr ụ c t ọ a độ trong kh ô ng gian th ì Vect ơ chi ph ươ ng α =( u , v , w )≠ 0 c ủ a giao tuy ế n c ủ a m ặ t ph ẳ ng (P) v ó i m ặ t ph ẳ ng (OCD) ph ả i th ỏ a m ãn: a , α , OC , OD đồ ng ph ẳ ng t ứ c α = s OC + t OD = ( ta ; ta 2 ; sc ) ( s , t ∈ R ) b, α ⋅ AM = 0 mà tức là − ta 2 + ta 2 ⋅ 2 a 2 + s 2 c 2 = s 2 c 2 = 0 Vậy s=0 ta có thể coi M ặ t ph ẳ ng (P) đ i qua A(a;0;0) v ớ i hai vecto ch ỉ ph ươ ng AM v à α n ê n c ó vect ơ ph á p tuy ế n n =( X ; Y ; Z )≠ 0 mà Vậy có thể chọn n = ( c 2 ; − c ; 3 a 2 ) T ừ đó m ặ t ph ẳ ng (P) c ó ph ươ ng tr ì nh: c 2 ( x − a ) − cy + 3 a 2 z = 0 , m ặ t ph ẳ ng (P) căt tr ụ c Oz t ạ i E(0;0;z) m à − ac 2 + 3 a 2 z = 0 t ứ c l à V ì OE = 3 1 OC , giao tuy ế n EF c ủ a m ặ t ph ẳ ng (P) v ớ i m ạ̃ t ph ẳ ng (OCD) song song v ớ i OD(F∈CD) , n ê n DF = 3 1 DC Ta có tỉ số thể tích V CMOD V CAEF = CO . CD CE ⋅ CF = 3.3 2.2 = 9 4 V CH о D V CMEF = CB.CO.CD CM.CE.CF = 2.3.3 1.2.2 = 9 2 , Vậy t ừ đó t ỉ s ố th ể t í ch hai kh ố i đ a di ệ n đượ c t ạ o th ả nh khi c ắ t kh ố i ch ó p CAOBD b ở i mp(P) l à 2 1 (hay 2) Kho ả ng c á ch t ừ đ i ể m C(0;0;c) đế n m ặ t ph ẳ ng (P) c ó ph ươ ng tr ì nh tr ể n l à : d ( C , ( P )) = 2 c 2 + c 2 + 18 a 2 ∣ − ac 2 + 3 ac 2 ∣ = 3 c 2 + 6 a 2 2 ac 6

Chọn Oxyz là hệ trục tọa độ trong không gian thì $straight A left parenthesis straight a semicolon 0 semicolon 0 right parenthesis comma straight B left parenthesis 0 semicolon straight a square root of 2 semicolon 0 right parenthesis comma straight C left parenthesis 0 semicolon 0 semicolon straight c right parenthesis comma straight D left parenthesis straight a semicolon straight a square root of 2 semicolon 0 right parenthesis comma straight M open parentheses 0 semicolon fraction numerator straight a square root of 2 over denominator 2 end fraction semicolon straight c over 2 close parentheses text . end text$

Vectơ chi phương α =(u,v,w)≠ 0 của giao tuyến của mặt phẳng (P) vói mặt phẳng (OCD) phải thỏa mãn: $a, α, OC, OD$ đồng phẳng tức $α = s OC + t OD = (ta; ta 2; sc)$ $(s, t \in R)$

b, $α \cdot AM = 0$ mà $AM with rightwards arrow on top equals open parentheses negative straight a semicolon fraction numerator straight a square root of 2 over denominator 2 end fraction semicolon straight c over 2 close parentheses$ tức là $- ta^{2} + ta 2 \cdot \frac{a 2}{2} + s \frac{c ^{2}}{2} = s \frac{c ^{2}}{2} = 0$

Vậy s=0 ta có thể coi alpha with rightwards arrow on top equals OD with minus on top equals left parenthesis straight a semicolon straight a square root of 2 semicolon 0 right parenthesis

Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0) với hai vecto chỉ phương AM và α nên có vectơ pháp tuyến n =(X;Y;Z)≠ 0 mà $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell negative a X plus fraction numerator a square root of 2 over denominator 2 end fraction Y plus c over 2 Z equals 0 end cell row cell a X plus a square root of 2 Y equals 0 end cell end table close$

Vậy có thể chọn $n = (c 2; - c; 3 a 2)$

Từ đó mặt phẳng (P) có phương trình: $c 2 (x - a) - cy + 3 a 2 z = 0$ , mặt phẳng (P) căt trục Oz tại E(0;0;z) mà $- ac 2 + 3 a 2 z = 0$ tức là straight E open parentheses 0 semicolon 0 semicolon straight c over 3 close parentheses semicolon OE equals straight c over 3.

Vì $OE = \frac{1}{3} OC$ , giao tuyến EF của mặt phẳng (P) với mạ̃t phẳng (OCD) song song với OD(F∈CD) , nên $DF = \frac{1}{3} DC$

Ta có tỉ số thể tích $\frac{V _{CAEF}}{V _{CMOD}} = \frac{CE \cdot CF}{CO . CD} = \frac{2.2}{3.3} = \frac{4}{9}$

$\frac{V _{CMEF}}{V _{CH о D}} = \frac{CM.CE.CF}{CB.CO.CD} = \frac{1.2.2}{2.3.3} = \frac{2}{9},$

Vậy straight V subscript text CAEMF end text end subscript equals open parentheses 4 over 9 plus 2 over 9 close parentheses times 1 half text end text straight V subscript text CAOBD end text end subscript equals 1 third text end text straight V subscript text CAOBD end text end subscript

từ đó tỉ số thể tích hai khối đa diện được tạo thảnh khi cắt khối chóp CAOBD bởi mp(P) là $\frac{1}{2}$ (hay 2)

Khoảng cách từ điểm C(0;0;c) đến mặt phẳng (P) có phương trình trển
là: $d (C, (P)) = \frac{∣ - ac 2 + 3 ac 2 ∣}{2 c ^{2} + c ^{2} + 18 a ^{2}} = \frac{2 ac 6}{3 c ^{2} + 6 a ^{2}}$

Câu hỏi tương tự

Cho 2 m ặ t ph ẳng 2 x − m y + 3 z − 6 + m = 0 v à m ặ t ph ẳ ng ( β ) c ó ph ươ ng tr ì nh: ( m + 3 ) x − 2 y + ( 5 m + 1 ) z − 10 = 0 . X á c đị nh m để m ặ t ph ẳ ng ( α ) v à m ặ t ph ẳ ng ( β ...

Xác nhận câu trả lời

Cho hai d ườ ng th ẳ ng Δ : 1 x − 1 = 4 y = − 1 z + 2 và Ch ứ ng minh Δ// Δ ' v à viêt ph ươ ng tr ì nh m ạ̄ t ch ứ a Δ v à Δ ' .

Xác nhận câu trả lời

Cho di é m B(-2;-3) v ả m ặ t ph ẳ ng (P) c ó ph ươ ng tr ì nh 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 a. Viêt ph ươ ng tr ì nh t ổ ng qu á t c ủ a đườ ng th ẳ ng d đ i qua B v à vu ô ng g ó c V ở i m ă t nh ẳ ng (P...

Xác nhận câu trả lời

X ả c đị nh t ọ a độ hinh chiêu c ủ a di ề m M(-3;2;0)= l è n m ậ t ph ẳ ng ( a ) : 4 x − 5 y + 3 z − 28 = 0

Xác nhận câu trả lời

Cho hinh h ộ p ch ữ nh ậ t OABC⋅ O ' A ' B ' C ' v ớ i O l à g ố c t ọ a độ , A(2;0;0) , C(0;8;0) v à O ' (0;0;4) . X á c đị nh ph ươ ng tr ì nh m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ể p h ì nh h ộ p ch ữ nh ậ t OAB...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện