Câu hỏi

Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của ∫ − 1 1 1 + 2 x 2∣ x ∣ d x :

Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của $\int_{- 1}^{1} \frac{2∣ x ∣}{1 + 2 ^{x}} d x$ :

R. Roboctvx77

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có ∫ − 1 1 1 + 2 x 2∣ x ∣ d x = ∫ 0 1 1 + 2 x 2 x d x + ∫ − 1 0 1 + 2 x 2 ( − x ) d x ( 1 ) Đặt x = − t ta có x = 0 thì t = 0 , x = − 1 thì t = 1 , d x = − d t và ∫ − 1 0 1 + 2 x 2 ( − x ) d x = − ∫ 1 0 1 + 2 − t 2 t d t = ∫ 0 1 2 ′ ( 1 + 2 − t ) 2 ′ ⋅ 2 t d t = ∫ 0 1 1 + 2 ′ 2 ′ ⋅ 2 t d t = ∫ 0 1 1 + 2 ′ 2 r ⋅ 2 x d x Thay vào (1) ta có ∫ 1 1 − 1 + 2 x 2∣ x ∣ d x = ∫ 0 1 1 + 2 x 2 x d x + ∫ 0 1 1 + 2 ′ 2 x ⋅ 2 x d x = ∫ 0 1 1 + 2 ′ ( 1 + 2 x ) 2 x d x = ∫ 0 1 2 x d x = x 2 ∣= 1

Ta có $\int_{- 1}^{1} \frac{2∣ x ∣}{1 + 2 ^{x}} d x = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + 2 ^{x}} d x + \int_{- 1}^{0} \frac{2 ( - x )}{1 + 2 ^{x}} d x (1)$
Đặt $x = - t$ ta có $x = 0$ thì $t = 0, x = - 1$ thì $t = 1, d x = - d t$ và
$\int_{- 1}^{0} \frac{2 ( - x )}{1 + 2 ^{x}} d x = - \int_{1}^{0} \frac{2 t}{1 + 2 ^{- t}} d t$ $= \int_{0}^{1} \frac{2 ^{'} \cdot 2 t}{2 ^{'} ( 1 + 2 ^{- t} )} d t$ $= \int_{0}^{1} \frac{2 ^{'} \cdot 2 t}{1 + 2 ^{'}} d t$ $= \int_{0}^{1} \frac{2 ^{r} \cdot 2 x}{1 + 2 ^{'}} d x$
Thay vào (1) ta có
$\int_{1}^{1} - \frac{2∣ x ∣}{1 + 2 ^{x}} d x$ $= \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + 2 ^{x}} d x + \int_{0}^{1} \frac{2 ^{x} \cdot 2 x}{1 + 2 ^{'}} d x$ $= \int_{0}^{1} \frac{( 1 + 2 ^{x} ) 2 x}{1 + 2 ^{'}} d x$ $= \int_{0}^{1} 2 x d x = x^{2} ∣= 1$