Câu hỏi

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 song song với đường thẳng y = 3 x + 1 có phương trình là

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ song song với đường thẳng $y = 3 x + 1$ có phương trình là

$y = - \frac{1}{3} x - 1$
$y = 3 x - \frac{29}{3}$
$y = 3 x - \frac{29}{3}, y = 3 x + 1$
$y = - \frac{1}{3} x + \frac{29}{3}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: y ′ = x 2 − 4 x + 3 . Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho với y 0 = 3 x 0 3 − 2 x 0 2 + 3 x 0 + 1 . Do tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( x 0 ; y 0 ) song song với đường thẳng y = 3 x + 1 nên ta có: y ′ ( x 0 ) = 3 ⇔ x 0 2 − 4 x 0 + 3 = 3 ⇔ [ x 0 = 0 ⇒ y 0 = 1 x 0 = 4 ⇒ y 0 = 3 7 - Tại điểm M ( 0 ; 1 ) phương trình tiếp tuyến là: y − 1 = 3 ( x − 0 ) ⇔ y = 3 x + 1 . - Tại điểm M ( 4 ; 3 7 ) phương trình tiếp tuyến là: y − 3 7 = 3 ( x − 4 ) ⇔ y = 3 x − 3 29 . Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 song song với đường thẳng y = 3 x + 1 có phương trình là y = 3 x − 3 29

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 4 x + 3$ .
Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho với $y_{0} = \frac{x _{0}^{3}}{3} - 2 x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 1$ .
Do tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M (x_{0}; y_{0})$ song song với đường thẳng $y = 3 x + 1$ nên ta có:
$y^{'} (x_{0}) = 3 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 = 3$ $\Leftrightarrow [x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 1 x_{0} = 4 \Rightarrow y_{0} = \frac{7}{3}$
- Tại điểm $M (0; 1)$ phương trình tiếp tuyến là: $y - 1 = 3 (x - 0) \Leftrightarrow y = 3 x + 1$ .
- Tại điểm $M (4; \frac{7}{3})$ phương trình tiếp tuyến là: $y - \frac{7}{3} = 3 (x - 4) \Leftrightarrow y = 3 x - \frac{29}{3}$ .
Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ song song với đường thẳng $y = 3 x + 1$ có phương trình là $y = 3 x - \frac{29}{3}$