Câu hỏi

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng (A) giới hạn bởi các đường cong ( ∅ ) : y = x 3 , đường thẳng ( Δ ) : y = x quay quanh trục O y tạo thành là:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng (A) giới hạn bởi các đường cong $(\emptyset)$ : $y = x^{3}$ , đường thẳng $(Δ) : y = x$ quay quanh trục $O y$ tạo thành là:

$\frac{4 π}{15};$
$\frac{3 π}{5};$
$\frac{6 π}{5};$
$\frac{8 π}{5};$

R. Roboctvx77

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của (Ø) : y = x 3 và đường thẳng ( Δ ) : y = x là x 3 = x ⇔ x ( x 2 − 1 ) ⇔ x = 0 , x = ± 1 . Thay vào phương trình của ( Δ ) có tung độ các giao điểm là y = 0 , y = ± 1 Ta có y = x 3 ⇔ x = 3 y ⇒ x 2 = y 3 2 . Áp dụng công thức V y = π ∫ c d [ g ( y ) ] 2 d y , và do gốc toạ độ O là tâm đối xứng của ( A ) suy ra thể tích vật thể do hình phẳng ( A ) quay quanh trục O y tạothành là : V y = 2 π ∫ 0 1 y 3 2 d y = 5 6 π ⋅ y 3 5 ∣ ∣ 0 1 = 5 6 π . Vậy V y = 5 6 π (dvtt)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Ø) : $y = x^{3}$ và đường thẳng $(Δ) : y = x$ là $x^{3} = x \Leftrightarrow x (x^{2} - 1) \Leftrightarrow x = 0, x = \pm 1$ .

Thay vào phương trình của $(Δ)$ có tung độ các giao điểm là $y = 0, y = \pm 1$

Ta có $y = x^{3} \Leftrightarrow x = 3 y \Rightarrow x^{2} = y^{\frac{2}{3}}$ .

Áp dụng công thức $V_{y} = π \int_{c}^{d} [g (y)]^{2} d y$ , và do gốc toạ độ $O$ là tâm đối xứng của $(A)$ suy ra thể tích vật thể do hình phẳng $(A)$ quay quanh trục $O y$ tạo thành là $: V_{y} = 2 π \int_{0}^{1} y^{\frac{2}{3}} d y = \frac{6 π}{5} \cdot y^{\frac{5}{3}} ∣ ∣_{0}^{1} = \frac{6 π}{5}$ . Vậy $V_{y} = \frac{6 π}{5}$ (dvtt)