Câu hỏi

Tam giác MNP có các góc thỏa mãn điều kiện: 3 ( cos N + 2 sin P ) + 4 ( sin N + 2 cos P ) = 15. Chứng minh MNP là tam giác vuông.

Tam giác MNP có các góc thỏa mãn điều kiện:

$3 (cos N + 2 sin P) + 4 (sin N + 2 cos P) = 15.$ Chứng minh MNP là tam giác vuông.

R. Robo.Ctvx4

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Hệ thức đã cho viết thành: ( 3 cos N + 4 sin N ) + ( 6 sin N + 8 cos P ) = 15. Biết ( 3 cos N + 4 sin N ) 2 ≤ ( 32 + 42 ) ( cos 2 N + sin 2 N ) ≤ ( 9 + 16 ) .1 = 25 Nên 3 cos N + 4 sin N ≤ 5 ( 1 ) Tương tự ta có: ( 6 sin N + 8 cos P ) 2 = ( 6 2 + 8 2 ) ( sin 2 P + cos 2 P ) ≤ ( 36 + 64 ) .1 = 100 Nên ( 6 sin N + 8 cos P ) ≤ 10 ( 2 ) Từ (1) và (2) ta suy ra vế trái của hệ thức đã cho ≤ 15. Dấu "=" xảy ra khi: 3 cos N + 4 sin N = 5 3 cos N = 4 sin N hay t g N = 3 4 ( 3 ) và 6 sin P + 8 cos P = 10 6 sin P = 8 cos P hay t g P = 4 3 ( 4 ) So sánh (3) và (4) ta có: t g N = 3 4 = 4 3 1 = t g P 1 = co t g P Do đó, N và P là hai góc phụ nhau ( t g N = co t g P ) nên N + P = 9 0 ∘ . Vậy tam giác MNP là tam giác vuông, vuông góc tại đỉnh M.

Hệ thức đã cho viết thành: $(3 cos N + 4 sin N) + (6 sin N + 8 cos P) = 15.$

Biết $(3 cos N + 4 sin N)^{2} \leq (32 + 42) (cos^{2} N + sin^{2} N)$

$\leq (9 + 16) .1 = 25$

Nên $3 cos N + 4 sin N \leq 5 (1)$

Tương tự ta có: $(6 sin N + 8 cos P)^{2} = (6^{2} + 8^{2}) (sin^{2} P + cos^{2} P)$

$\leq (36 + 64) .1 = 100$

Nên $(6 sin N + 8 cos P) \leq 10 (2)$

Từ (1) và (2) ta suy ra vế trái của hệ thức đã cho $\leq 15.$

Dấu "=" xảy ra khi: $3 cos N + 4 sin N = 5$

$\frac{cos N}{3} = \frac{sin N}{4}$ hay $t g N = \frac{4}{3} (3)$

và $6 sin P + 8 cos P = 10$

$\frac{sin P}{6} = \frac{cos P}{8}$ hay $t g P = \frac{3}{4} (4)$

So sánh (3) và (4) ta có: $t g N = \frac{4}{3} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{t g P} = co t g P$

Do đó, N và P là hai góc phụ nhau $(t g N = co t g P)$ nên $N + P = 9 0^{\circ} .$ Vậy tam giác MNP là tam giác vuông, vuông góc tại đỉnh M.

Câu hỏi tương tự

Giải phương trình: 1 + sin 2 x + cos 3 2 x = 2 3 sin 4 x

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x − 2 m sin x cos x Tìm các giá trị của m để f(x) xác định với mọi x

Xác nhận câu trả lời

Giá trị của biểu thức là

Xác nhận câu trả lời

Cho hai số nguyên dương m,n nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng k = 0 ∑ n [ n km ] = l = 1 ∑ n t − 1 [ m ln ] = 2 ( n − 1 ) ( m − 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a. Góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 6 0 ∘ . Hình chiếu vuông tại C và BAC = 6 0 ∘ . Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện