Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R) . Kẻ MH vuông góc AB ( H ∈ A B ) , MH cắt đường tròn tại N. Biết M A = 10 cm, A B = 12 cm. 1) Tính MH và bán kính R của đường tròn. 2) Trên tia đối tia BA lấy điểm C. Tia MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: N B 2 = NE . N D và A C . BE = BC . A E . 3) Chứng minh NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE .

Giải thích

1) Theo tính chất đường kính và dây cung suy ra H là trung điểm AB và AH = 6 cm. △ A M H vuông tại H ⇒ M H = A M 2 − A H 2 ​ = 1 0 2 − 6 2 ​ = 8 cm. △ A MN vuông tại A, đường cao AH, do đó A H 2 = H M . H N ⇒ H N = M H A H 2 ​ = 8 36 ​ = 4 , 5 cm. Bán kính 2) M D N = 9 0 ∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), M H E = 9 0 ∘ ( M H ⊥ A B ) . Từ đó suy ra M D E + M H E = 18 0 ∘ , do đó tứ giác MDEH nội tiếp. Xét các tam giác ∆NBE và ∆NDB có góc N chung, NBE = N D B (cùng chắn hai cung bằng nhau là cung NA, NB). Ta có cung NA bằng cung NB (tính chất đường kính và dây cung), suy ra A D E = E D B ⇒ DE là phân giác trong của △ A B D . Vì E D ⊥ D C ⇒ DC là phân giác ngoài của △ A B D . Từ đó suy ra: Gọi (O') là đường tròn tâm I ngoại tiếp △ EB D ′ . Ta có NB ⊥ BM (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O), từ đó suy ra BN ⊥ B I ⇒ BN là tiếp tuyến đường tròn ( O' ) ⇒ EBN = E D ′ B (cùng chắn cung BE ). Mặt khác trên đường tròn (O), EBN = E D B (cùng chắn hai cung bằng nhau NA, NB ) ⇒ D nằm trên đường tròn ( O' ). Vậy NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE .