Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu là hình gồm 6 ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây, hoặc hình nhận được do lật hình đó (sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hoặc hình nhận được do xoay hình đó đi một góc. Hãy xác định tất cả các hình chữ nhật m × n, trong đó m, n là các số nguyên dương sao cho có thể lát hình chữ nhật đó bằng các viên gạch hình móc câu.

Giải thích

Dễ thấy m, n  ∈ {1, 2, 5}. Chia hình chữ nhật m × n thành m × n ô vuông và đánh số các hàng, các cột từ dưới lên trên, tứ trái sang phải. Ta gọi ô (p, q) là ô nằm ở giao của hàng thứ p và cột thứ q. Hai viên gạch hình móc câu chỉ có thể ghép lại để được một trong hai hình dưới đây Do đó, để lát được hình chữ nhật m × n thì m.n phải chia hết cho 12. Nếu ít nhất một trong hai số m hoặc n chia hết cho 4 thì có thế lát được hình chữ nhật m × n. Thật vậy, giả sử được m chia hết cho 4. Nếu n chia hết cho 3 thì có thể chia hình chữ nhật m × n thành các hình chữ nhật 4 × 3, do đó có thể lát được. Nếu n không chia hết cho 3 thì có thể viết n dưới dạng n = 3a + 4b với a, b là các số nguyên dương, do đó có thể lát được. Bây giờ ta chứng minh một trong hai số m, n chia hết cho 4. Giả sử ngược lại, khi đó cả m và n chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 4. Để chứng minh điều này không xảy ra ta tạo bất biến. Để tạo bất biến ta điền các số vào các ô của hình chữ nhật theo quy tắc sau: Xét ô (p, q). Nếu chỉ một trong hai tọa độ p và q chia hết cho 4 thì điền số 1 vào ô đó. Nếu chỉ một trong hai tọa độ p và q chia hết cho 4 thì điền số 2 vào ô đó. Với cách điền số như vậy ta thu được bất biến là tổng các số trong hình (H1) và tổng các số trong hình (H2) luôn là số lẻ. Do m, n chẵn nên tổng các số trong toàn bộ hình chữ nhật m × n là một số chẵn. Muốn lát được hình chữ nhật m × n thì tổng số hình (H1) và (H2) được sử dụng phải là số chẵn. Khi đó, m.n chia hết cho 24. Điều này không xảy ra vì cả m, n đều không chia hết cho 4.