Câu hỏi

Tập nghiệm của bất phương trình l o g 2 ( x ( x 2 − 2 − x ) + 4 ) + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1 là(- a ; b ]

Tập nghiệm của bất phương trình $l o g_{2} (x (x^{2} - 2 - x) + 4) + 2 x + x^{2} + 2 \leq 1$ là(- $a; b$ ]

$\frac{15}{16}$
$\frac{12}{5}$
$\frac{16}{15}$
$\frac{5}{12}$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: x x 2 − 2 − x 2 = x ( x 2 − 2 − x ) = x 2 + 2 + x 2 x Ta có: l o g 2 ( x ( x 2 − 2 − x ) + 4 ) + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1 ⇔ l o g 2 ( x ( x 2 − 2 − x ) + 4 ) + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1 ⇔ l o g 2 ( x 2 + 2 + x 2 x + 4 ) + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1 ⇔ l o g 2 x 2 + 2 + x 2 ( 3 x + 2 x 2 + 2 ) + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1 (1) Ta có x 2 + 2 + x > 0 , ∀ x ∈ R Điều kiện: 3 x + 2 x 2 + 2 > 0 ⇔ 2 x 2 + 2 > − 3 x ⇔ ⎣ ⎡ x ≥ 0 { x < 0 4 x 2 + 8 > 9 x 2 ⇔ x > − 5 8 () Với điều kiện () ta có (1) ⇔ lo g 2 ( 3 x + 2 x 2 + 2 ) + 3 x + 2 x 2 + 2 ≤ lo g 2 ( x 2 + 2 + x ) x 2 + 2 + x (2) Xét hàm số f(t)= lo g 2 t + t với t>0. Có f'(t)= t . ln 2 1 + 1 > 0 , ∀ t ∈ ( 0 ; + ∞ ) Hàm số f(t)= lo g 2 t + t đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) . ( 3 x + 2 x 2 + 2 ) ∈ ( 0 ; + ∞ ) và ( x 2 + 2 + x ) ∈ ( 0 ; + ∞ ) Nên (2) ⇔ f ( 3 x + 2 x 2 + 2 ) ≤ f ( x 2 + 2 + x ) ⇔ 3 x + 2 x 2 + 2 ≤ x 2 + 2 + x ⇔ x 2 + 2 ≤ -2x ⇔ { − 2 x ≥ 0 x 2 + 2 ≤ 4 x 2 ⇔ { ≤ 0 3 x 2 ≥ 2 ⇔ x ≤ − 3 2 Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là ( − 5 8 ; − 2 3 ) hay a.b= 15 16

Ta có: $x x^{2} - 2 - x^{2} = x (x^{2} - 2 - x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 2 + x}$

Ta có: $l o g_{2} (x (x^{2} - 2 - x) + 4) + 2 x + x^{2} + 2 \leq 1$

$\Leftrightarrow l o g_{2} (x (x^{2} - 2 - x) + 4) + 2 x + x^{2} + 2 \leq 1$

$\Leftrightarrow l o g_{2} (\frac{2 x}{x ^{2} + 2 + x} + 4) + 2 x + x^{2} + 2 \leq 1$ $\Leftrightarrow l o g_{2} \frac{2 ( 3 x + 2 x ^{2} + 2 )}{x ^{2} + 2 + x} + 2 x + x^{2} + 2 \leq 1$ (1)

Ta có $x^{2} + 2 + x > 0, \forall x \in R$

Điều kiện: $3 x + 2 x^{2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 > - 3 x \Leftrightarrow$ $⎣ ⎡ x \geq 0 {x < 0 4 x^{2} + 8 > 9 x^{2}$ $\Leftrightarrow x > - \frac{8}{5}$ (*)

Với điều kiện (*) ta có

(1) $\Leftrightarrow lo g_{2} (3 x + 2 x^{2} + 2) + 3 x + 2 x^{2} + 2 \leq$ $lo g_{2} (x^{2} + 2 + x) x^{2} + 2 + x$ (2)

Xét hàm số f(t)= $lo g_{2} t + t$ với t>0. Có f'(t)= $\frac{1}{t . ln 2} + 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty)$

Hàm số f(t)= $lo g_{2} t + t$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ . $(3 x + 2 x^{2} + 2) \in$ $(0; + \infty)$ và $(x^{2} + 2 + x) \in$ $(0; + \infty)$

Nên (2) $\Leftrightarrow$ f $(3 x + 2 x^{2} + 2) \leq$ f $(x^{2} + 2 + x)$

$\Leftrightarrow$ $3 x + 2 x^{2} + 2 \leq$ $x^{2} + 2 + x$ $\Leftrightarrow$ $x^{2} + 2$ $\leq$ -2x $\Leftrightarrow$ ${- 2 x \geq 0 x^{2} + 2 \leq 4 x^{2} \Leftrightarrow {\leq 0 3 x^{2} \geq 2 \Leftrightarrow x \leq - \frac{2}{3}$

Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là $(- \frac{8}{5}; - \frac{3}{2})$ hay a.b= $\frac{16}{15}$

Câu hỏi tương tự

Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4 a = 2 5 b = 1 0 c Tính giá trị biểu thức A = a c + b c

Xác nhận câu trả lời

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn lo g 4 a = lo g 6 b = lo g 9 ( a + b ) Tính b a

Xác nhận câu trả lời

Biết lo g a b = 2 , lo g a c = 3 ; với a,b,c > 0; a  = 1.Khi đó giá trị của lo g a ( c a 2 3 b ) bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,AD=DC=a, AB=2a , cạnh sc hợp với đáy một góc 30 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a?

Xác nhận câu trả lời

Số cạnh của hình mười hai mặt đều là

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG