Câu hỏi

Tính tổng S = 2019 1 ( C 2019 1 ) 2 + 2018 2 ( C 2019 2 ) 2 + ... + 2 2018 ( C 2019 2018 ) 2 + 1 2019 ( C 2019 2019 ) 2

Tính tổng

$S = \frac{1}{2019} (C_{2019}^{1})^{2} + \frac{2}{2018} (C_{2019}^{2})^{2} + ... + \frac{2018}{2} (C_{2019}^{2018})^{2} + \frac{2019}{1} (C_{2019}^{2019})^{2}$

R. Robo.Ctvx4

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Xét số hạng tổng quát: T k = 2020 − k k . ( C 2019 k ) 2 = 2020 − k k . ( 2019 − k )! k ! 2019 ! . C 2019 k = ( 2019 − k )! k ! 2019 ! . C 2019 k = C 2019 k − 1 . C 2019 2019 − k ∀ k = 1 , 2 , ... , 2019 S u y r a S = C 2019 0 . C 2019 2018 + C 2019 1 + C 2019 2017 + ... + C 2019 2017 . C 2019 1 + C 2019 2018 . C 2019 0 Xét ( 1 + x ) 2019 ( 1 + x ) 2019 = ( C 2019 0 + C 2019 1 + ... + C 2019 2019 x 2019 ) ( C 2019 0 + C 2019 1 + ... + C 2019 2019 x 2019 ) Hệ số của x 2018 trong khai triển ( 1 + x ) 2019 ( 1 + x ) 2019 là C 2019 0 . C 2019 2018 + C 2019 1 . C 2019 2017 + ... + C 2019 2017 . C 2019 1 + C 2019 2018 . C 2019 0 (1) Xét khai triển ( 1 + x ) 4038 = C 4028 0 + C 4028 1 + ... + C 4028 2018 x 2018 + C 4028 4038 x 4038 Hệ số của x 2018 trong khai triển ( 1 + x ) 4038 ( 1 + x ) 4038 l a ˋ C 4038 2018 ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có S = 2019 1 ( C 2019 1 ) 2 + 2018 2 ( C 2019 2 ) 2 + ... + 2 2018 ( C 2019 2018 ) 2 + 1 2019 ( C 2019 2019 ) 2 = C 4038 2018

Xét số hạng tổng quát:

$T_{k} = \frac{k}{2020 - k} . (C_{2019}^{k})^{2} = \frac{k}{2020 - k} . \frac{2019 !}{( 2019 - k )! k !} . C_{2019}^{k} = \frac{2019 !}{( 2019 - k )! k !} . C_{2019}^{k} = C_{2019}^{k - 1} . C_{2019}^{2019 - k} \forall k = 1, 2, ..., 2019 S u y r a S = C_{2019}^{0} . C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{1} + C_{2019}^{2017} + ... + C_{2019}^{2017} . C_{2019}^{1} + C_{2019}^{2018} . C_{2019}^{0}$

Xét

$(1 + x)^{2019} (1 + x)^{2019} = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} + ... + C_{2019}^{2019} x^{2019}) (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} + ... + C_{2019}^{2019} x^{2019})$

Hệ số của $x^{2018}$ trong khai triển $(1 + x)^{2019} (1 + x)^{2019}$ là

$C_{2019}^{0} . C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{1} . C_{2019}^{2017} + ... + C_{2019}^{2017} . C_{2019}^{1} + C_{2019}^{2018} . C_{2019}^{0}$ (1)

Xét khai triển $(1 + x)^{4038} = C_{4028}^{0} + C_{4028}^{1} + ... + C_{4028}^{2018} x^{2018} + C_{4028}^{4038} x^{4038}$

Hệ số của $x^{2018}$ trong khai triển $(1 + x)^{4038} (1 + x)^{4038} l \overset{a}{ˋ} C_{4038}^{2018} (2)$

Từ (1) và (2) ta có

$S = \frac{1}{2019} (C_{2019}^{1})^{2} + \frac{2}{2018} (C_{2019}^{2})^{2} + ... + \frac{2018}{2} (C_{2019}^{2018})^{2} + \frac{2019}{1} (C_{2019}^{2019})^{2} = C_{4038}^{2018}$

Câu hỏi tương tự

Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triểnnhị thức Niutơn của ( 2 x n + 2 x ) 2 n ; ( x  = 0 ) biếtsố nguyên dương n thỏa mãn là

Xác nhận câu trả lời

Xác suất sút bóng từ xa ghi bàn của đội A là 0,7. Trong trận chung kết đội A gặp đội B, các cầu thủ của đội A đã thực hiện 5 lần sút xa. Tính xác suất để đội A ghi được 3 bàn thắng trong 5 tình huống ...

Xác nhận câu trả lời

Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ: ( 3 − 4 5 ) 124

Xác nhận câu trả lời

Xác định hệ số của x n trong khai triển: ( 1 + x + 2 x 2 + 3 x 3 + ... + n x n ) 2 .

Xác nhận câu trả lời

Tìm số hạng chứa x 6 trong khai triển ( 2 x 2 − x 1 ) 12 với x ≠ 0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG