Câu hỏi

Tính tích phân I = ∫ 0 π /4 sin 2 x + 2 ( 1 + sin x + cos x ) sin ( x − 4 π ) . d x

Tính tích phân $I = \int_{0}^{π /4} \frac{sin ( x - \frac{π}{4} ) . d x}{sin 2 x + 2 ( 1 + sin x + cos x )}$

R. Robo.Ctvx2

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Viết lại I dưới dạng: I = 2 2 ∫ 0 π /4 ( 1 + s i n 2 x ) + 2 ( s i n x + c o s x ) + 1 ( s i n x − c o s x ) . d x = 2 2 ∫ 0 π /4 ( s i n x + c o s x ) 2 + 2 ( s i n x + c o s x ) + 1 ( s i n x − c o s x ) . d x = 2 2 ∫ 0 π /4 ( s i n x + c o s x + 1 ) 2 ( s i n x − c o s x ) . d x Đặt t = sin x + cos x + 1 , suy ra: d t = ( cos x − sin x ) d x ⇔ ( sin x − cos x ) d x = − d t Đổi cận: - Với x=0 thì t=2. - Với x = 4 π thì t = 2 + 1 . Khi đó: I = − 2 2 ∫ 2 2 + 1 t 2 d t = 2 t 2 ∣ ∣ 2 2 + 1 = 4 4 − 3 2 .

Viết lại I dưới dạng:

$I = \frac{2}{2} \int_{0}^{π /4} \frac{( s i n x - c o s x ) . d x}{( 1 + s i n 2 x ) + 2 ( s i n x + c o s x ) + 1} = \frac{2}{2} \int_{0}^{π /4} \frac{( s i n x - c o s x ) . d x}{( s i n x + c o s x ) ^{2} + 2 ( s i n x + c o s x ) + 1} = \frac{2}{2} \int_{0}^{π /4} \frac{( s i n x - c o s x ) . d x}{( s i n x + c o s x + 1 ) ^{2}}$

Đặt $t = sin x + cos x + 1$ , suy ra: $d t = (cos x - sin x) d x \Leftrightarrow (sin x - cos x) d x = - d t$

Đổi cận:

- Với x=0 thì t=2.

- Với $x = \frac{π}{4}$ thì $t = 2 + 1$ .

Khi đó:

$I = - \frac{2}{2} \int_{2}^{2 + 1} \frac{d t}{t ^{2}} = \frac{2}{2 t} ∣ ∣_{2}^{2 + 1} = \frac{4 - 3 2}{4} .$

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xác nhận câu trả lời

Phương trình 2 s i n 2 x + 2 c o s 2 x = m có nghiệm khi và chỉ khi

Xác nhận câu trả lời

Biết ∫ 0 π sin 2018 x + cos 2018 x x sin 2018 x d x = b π a trong đó a , b là các số nguyên dương.Tính P = 2 a + b

Xác nhận câu trả lời

Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 3 t y = − 1 − t z = 1 v a ˋ d 2 : − 1 x − 2 = 1 y + 2 = 1 z − 4 . Chứng minh rằng d 1 v a ˋ d 2 chéo nhau và t...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng 6 a 3 . Tìm khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) và tìm th...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG