Tính tích phân

Cho f(x) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên [a,b]. Giả sử f ( a ) = f ( b ) = 0 và cho M = x ∈ [ a , b ] M a x ​ ∣ f ′ ( x ) ∣ . Chứng minh rằng ( b − a ) 2 4 ​ ∫ a b ​ ∣ f ( x ) ∣ d x ≤ M

Chứng minh rằng ( x − y ) [ 2 − ( x + y ) ] < 2 ln 1 + y 1 + x ​ ∀ x > y > 0 ( 1 )

Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng ∣ ∣ ​ ∫ 0 π ​ e x 2 sin n x d x ∣ ∣ ​ ≤ n 2 e π 2 ​

Cho f 1 ​ ( x ) , f 2 ​ ( x ) , ... , f n ​ ( x ) là n là hàm số dương và liên tục trên [0,1]. Đặt a k ​ = ∫ 0 1 ​ f k ​ ( x ) d x với k = 1 , n ​ . Chứng minh rằng tồn tại x 0 ​ ∈ [ 0 , 1 ] . Sao cho...

Chứng minh rằng: ∫ 0 1/ n ​ ( k = 1 ∑ n ​ cos km x + n sin x ) d x < 4 5 ​ , ∀ m , n ∈ N ∗ , m ≥ 2