Câu hỏi

Tính tích phân của I 1 = ∫ 2 3 ( x 2 + 2 x − 4 ) 3 x 2 − 6 x + 5 ( 4 x + 3 ) d x

Tính tích phân của $I_{1} = \int_{2}^{3} \frac{( 4 x + 3 ) d x}{( x ^{2} + 2 x - 4 ) 3 x ^{2} - 6 x + 5}$

R. Robo.Ctvx9

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

I 1 = ∫ 2 3 ( x 2 + 2 x − 4 ) 3 x 2 − 6 x + 5 ( 4 x + 3 ) d x = ∫ 2 3 [ ( x − 1 ) 2 − 5 ] 3 ( x − 1 ) 2 + 2 [ 4 ( x − 1 ) + 7 ] d x = ∫ 1 2 ( u 2 − 5 ) 3 u 2 + 2 ( 4 u + 7 ) d u = 4 ∫ 1 2 ( u 2 − 5 ) 3 u 2 + 2 u d u + 7 ∫ 1 2 ( u 2 − 5 ) 3 u 2 + 2 d u = 4 J − 7 L Xét J = ∫ 1 2 ( u 2 − 5 ) 3 u 2 + 2 d u . Đặt t = 3 u 2 + 2 ⇒ u 2 = 3 t 2 − 2 ⇒ u d u = 3 t d t = 2 17 1 ( ln 17 + 14 17 − 14 − ln 17 + 5 17 − 5 ) = 2 17 1 ln ( 17 + 14 ) ( 17 − 5 ) ( 17 − 14 ) ( 17 + 5 ) Xét L = ∫ 1 2 ( u 2 − 5 ) 3 u 2 + 2 d u .Đặt u t = 3 u 2 + 2 ⇒ u 2 t 2 = 3 u 2 + 2 ⇒ u 2 = t 2 − 3 2 ⇒ u d u = ( t 2 − 3 ) 2 − 2 t d t ⇒ 3 u 2 + 2 d u = u ( u t ) u d u = 2 t / ( t 2 − 3 ) − 2 t d t / ( t 2 − 3 ) 2 = t 2 − 3 d t . Khi đó : L = ∫ 1 2 ( u 2 − 5 ) 3 u 2 + 2 d u = ∫ 2 14 /2 ( t 2 − 3 2 − 5 ) ( t 2 − 3 ) d t = ∫ 2 14 /2 17 − 5 t 2 d t = 5 1 . 2 17 1 ln ∣ ∣ 17 − t 5 17 + t 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 14 /2 = 2 85 1 ln ( 70 − 2 17 ) ( 2 5 + 17 ) ( 70 + 2 17 ) ( 2 5 − 17 ) ⇒ I 1 = 4 J − 7 L = 2 17 4 ln ( 17 + 14 ) ( 17 − 5 ) ( 17 − 14 ) ( 17 + 5 ) − 2 85 7 ln ( 70 − 2 17 ) ( 2 5 + 17 ) ( 70 + 2 17 ) ( 2 5 − 17 )

$I_{1} = \int_{2}^{3} \frac{( 4 x + 3 ) d x}{( x ^{2} + 2 x - 4 ) 3 x ^{2} - 6 x + 5} = \int_{2}^{3} \frac{[ 4 ( x - 1 ) + 7 ] d x}{[ ( x - 1 ) ^{2} - 5 ] 3 ( x - 1 ) ^{2} + 2}$

$= \int_{1}^{2} \frac{( 4 u + 7 ) d u}{( u ^{2} - 5 ) 3 u ^{2} + 2} = 4 \int_{1}^{2} \frac{u d u}{( u ^{2} - 5 ) 3 u ^{2} + 2} + 7 \int_{1}^{2} \frac{d u}{( u ^{2} - 5 ) 3 u ^{2} + 2} = 4 J - 7 L$

Xét $J = \int_{1}^{2} \frac{d u}{( u ^{2} - 5 ) 3 u ^{2} + 2} .$ Đặt $t = 3 u^{2} + 2 \Rightarrow u^{2} = \frac{t ^{2} - 2}{3} \Rightarrow u d u = \frac{t d t}{3}$

$J equals integral subscript 1 superscript 2 fraction numerator u d u over denominator open parentheses u squared minus 5 close parentheses square root of 3 u squared plus 2 end root end fraction equals integral subscript square root of 5 end subscript superscript square root of 14 end superscript fraction numerator t d t over denominator open parentheses t squared minus 17 close parentheses t end fraction equals integral subscript square root of 5 end subscript superscript square root of 14 end superscript fraction numerator d t over denominator t squared minus 17 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 17 end fraction ln open vertical bar fraction numerator t minus square root of 17 over denominator plus square root of pi end fraction vertical line close vertical bar subscript square root of 5 end subscript superscript square root of 14 end superscript$

$= \frac{1}{2 17} (ln \frac{17 - 14}{17 + 14} - ln \frac{17 - 5}{17 + 5}) = \frac{1}{2 17} ln \frac{( 17 - 14 ) ( 17 + 5 )}{( 17 + 14 ) ( 17 - 5 )}$

Xét $L = \int_{1}^{2} \frac{d u}{( u ^{2} - 5 ) 3 u ^{2} + 2}$ .Đặt $u t = 3 u^{2} + 2 \Rightarrow u^{2} t^{2} = 3 u^{2} + 2 \Rightarrow u^{2} = \frac{2}{t ^{2} - 3}$

$\Rightarrow u d u = \frac{- 2 t d t}{( t ^{2} - 3 ) ^{2}} \Rightarrow \frac{d u}{3 u ^{2} + 2} = \frac{u d u}{u ( u t )}$

$= \frac{- 2 t d t / ( t ^{2} - 3 ) ^{2}}{2 t / ( t ^{2} - 3 )} = \frac{d t}{t ^{2} - 3} .$ Khi đó :

$L = \int_{1}^{2} \frac{d u}{( u ^{2} - 5 ) 3 u ^{2} + 2} = \int_{2}^{14 /2} \frac{d t}{( \frac{2}{t ^{2} - 3} - 5 ) ( t ^{2} - 3 )} = \int_{2}^{14 /2} \frac{d t}{17 - 5 t ^{2}} = \frac{1}{5} . \frac{1}{2 17} ln ∣ ∣ \frac{17 + t 5}{17 - t 5} ∣ ∣ ∣ ∣_{2}^{14 /2} = \frac{1}{2 85} ln \frac{( 70 + 2 17 ) ( 2 5 - 17 )}{( 70 - 2 17 ) ( 2 5 + 17 )}$

$\Rightarrow I_{1} = 4 J - 7 L = \frac{4}{2 17} ln \frac{( 17 - 14 ) ( 17 + 5 )}{( 17 + 14 ) ( 17 - 5 )} - \frac{7}{2 85} ln \frac{( 70 + 2 17 ) ( 2 5 - 17 )}{( 70 - 2 17 ) ( 2 5 + 17 )}$

Câu hỏi tương tự

Tìm tích phân của F 2 = ∫ − 2 − 3/2 ( 2 x + 1 ) − x 2 − 4 x − 3 ( x + 3 ) d x

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân của

Xác nhận câu trả lời

Gỉa sử a 1 , a 2 , ... , a n ( n ≥ 3 ) là các số thực dương thỏa mãn n a 1 a 2 ... a n = p ≥ n − 1 Chứng minh rằng ( 1 + a 1 ) 2 1 + ( 1 + a 2 ) 2 1 + ... + ( 1 + a n ) 2 ...

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân của C 4 = ∫ 1 e π cos 2 ( ln x ) d x

Xác nhận câu trả lời

Tìm nguyên hàm của D 6 = ∫ cos x ( t gx ) 4 d x

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG