Câu hỏi

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ∣ ∣ x 2 − 1 ∣ ∣ v a ˋ y = ∣ x ∣ + 5

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = ∣ ∣ x^{2} - 1 ∣ ∣ v \overset{a}{ˋ} y = ∣ x ∣ + 5$

R. Roboctvx92

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm ∣ ∣ x 2 − 1 ∣ ∣ = ∣ x ∣ + 5 ⇔ ∣ ∣ t 2 − 1 ∣ ∣ = t + 5 , t = ∣ x ∣ ≥ 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ t = ∣ x ∣ ≥ 0 [ t 2 − 1 = t + 5 t 2 − 1 = − t − 5 ⇔ { t = ∣ x ∣ ≥ 0 t = 3 ⇔ x = ± 3 ⇒ S = ∫ − 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 − 1 ∣ ∣ − ( ∣ x ∣ + 5 ) ∣ ∣ d x = 2 ∫ 0 3 ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 − 1 ∣ ∣ − ( x + 5 ) ∣ ∣ d x Bảng xét dấu ⇒ S = 2 ∣ ∣ ∫ 0 1 ( − x 2 − x − 4 ) d x + ∫ 1 3 ( x 2 − x − 6 ) d x ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ( 3 − x 3 − 2 x 2 − 4 x ) 0 1 ∣ ∣ + ( 3 x 3 − 2 x 2 − 6 x ) 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 73 Vậy S = 3 73 (đvdt)

Phương trình hoành độ giao điểm $∣ ∣ x^{2} - 1 ∣ ∣ = ∣ x ∣ + 5 \Leftrightarrow ∣ ∣ t^{2} - 1 ∣ ∣ = t + 5, t = ∣ x ∣ \geq 0$

$\Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ t = ∣ x ∣ \geq 0 [t^{2} - 1 = t + 5 t^{2} - 1 = - t - 5 \Leftrightarrow {t = ∣ x ∣ \geq 0 t = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3$

$\Rightarrow S = \int_{- 3}^{3} ∣ ∣ ∣ ∣ x^{2} - 1 ∣ ∣ - (∣ x ∣ + 5) ∣ ∣ d x = 2 \int_{0}^{3} ∣ ∣ ∣ ∣ x^{2} - 1 ∣ ∣ - (x + 5) ∣ ∣ d x$

Bảng xét dấu

$\Rightarrow S = 2 ∣ ∣ \int_{0}^{1} (- x^{2} - x - 4) d x + \int_{1}^{3} (x^{2} - x - 6) d x ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ (\frac{- x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} - 4 x)_{0}^{1} ∣ ∣ + (\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} - 6 x)_{1}^{3} ∣ ∣ ∣ ∣ = \frac{73}{3}$