Tổng tất cả các giá trị thực của mđể hàm số y = 5 1 ​ m 2 x 5 − 3 1 ​ m x 3 + 10 x 2 − ( m 2 − m − 20 ) x + 1 đồng biến trên R bằng

Giải thích

y = 5 1 ​ m 2 x 5 − 3 1 ​ m x 3 + 10 x 2 − ( m 2 − m − 20 ) x + 1 ⇒ y ′ = m 2 x 4 − m x 2 + 20 x − m 2 + m + 20 ≥ 0 Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ y ′ = m 2 x 4 − m x 2 + 20 x − m 2 + m + 20 ≥ 0 , ∀ x ∈ R và dấu "="xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm. Điều kiện cần: Ta thấy phương trình y'=0có một nghiệm x =−1 nên để y ′ ≥ 0 , ∀ x ∈ R thì y'không đổi dấu khi qua x =−1, khi đó phương trình y '= 0 có nghiệm kép là x =−1 ( x =−1 không thể là nghiệm bội 4 của phương trình y'=0 vì y' không chứa số hạng x 3 ) Ta suy ra được y " ( − 1 ) = 0 ⇔ − 4 m 2 + 2 m + 20 = 0 ⇔ [ m = − 2 m = 2 5 ​ ​ Điều kiện đủ: Với m =−2, ta có: y ′ = 4 x 4 + 2 x 2 + 20 x + 14 = 4 ( x + 1 ) 2 [ ( x − 1 ) 2 + 2 5 ​ ] ≥ 0 , ∀ x ∈ R nên hàm số đồng biến trên R Suy ra m =−2 thỏa mãn điều kiện của đề bài. Với m = 2 5 ​ , ta có: y ′ = 4 25 ​ x 4 − 2 5 ​ x 2 + 20 x + 4 65 ​ = 4 25 ​ ( x + 1 ) 2 + [ ( x − 1 ) 2 + 5 8 ​ ] ≥ 0 , ∀ x ∈ R nên hàm số đồng biến trên R Suy ra m = 2 5 ​ thỏa mãn điều kiện của đề bài. Vậy m =−2, m = 2 5 ​ là các giá trị cần tìm. Khi đó tổng các giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầubài toán là − 2 + 2 5 ​ = 2 1 ​