Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 1 ​ lo g 2 ​ ∣ x − m ∣ + 1 2 x 2 − 4 x + 6 ​ + x 2 = 2 ( x + ∣ x − m ∣ ) có đúng ba nghiệm phân biệt là

Giải thích

Điều kiện: ∣ x − m ∣ + 1 2 x 2 − 4 x + 6 ​ > 0 ⇔ ∀ x ∈ R . Phương trình: 2 1 ​ lo g 2 ​ ∣ x − m ∣ + 1 2 x 2 − 4 x + 6 ​ + x 2 = 2 ( x + ∣ x − m ∣ ) (*) ⇔ lo g 2 ​ ∣ x − m ∣ + 1 2 x 2 − 4 x + 6 ​ + 2 x 2 = 4 ( x + ∣ x − m ∣ ) ⇔ lo g 2 ​ ( 2 x 2 − 4 x + 6 ) − lo g 2 ​ ( ∣ x − m ∣ + 1 ) + 2 x 2 − 4 x = 4 ∣ x − m ∣ ⇔ lo g 2 ​ ( 2 x 2 − 4 x + 6 ) + ( 2 x 2 − 4 x + 6 ) = lo g 2 ​ ( ∣ x − m ∣ + 1 ) + 2 + ( 4 ∣ x − m ∣ + 4 ) ⇔ lo g 2 ​ ( 2 x 2 − 4 x + 6 ) + ( 2 x 2 − 4 x + 6 ) = lo g 2 ​ ( 4 ∣ x − m ∣ + 4 ) + ( 4 ∣ x − m ∣ + 4 ) ( 1 ) Ÿ Xét hàm f ( t ) = lo g 2 ​ t + t trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) . có f ′ ( t ) = tl n 2 1 ​ + 1 > 0 , ∀ t > 0 suy ra f ( t ) đồng biến trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) . Khi đó : (1) ⇔ f ( 2 x 2 − 4 x + 6 ) = f ( 4 ∣ x + m ∣ + 4 ) ⇔ 2 x 2 − 4 x + 6 = 4 ∣ x + m ∣ + 4 ⇔ 2 ∣ x − m ∣ = x 2 − 2 x + 1 ⇔ [ 2 x − 2 m = x 2 − 2 x + 1 2 x − 2 m = − ( x 2 − 2 x + 1 ) ​ ( do x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1 ) 2 ≥ 0 , ∀ x ∈ R ) ⇔ [ 2 m = − x 2 + 4 x − 1 2 m = x 2 + 1 ​ (2) Ÿ Vẽ đồ thị hai hàm số g ( x ) = − x 2 + 4 x − 1 và h ( x ) = x 2 + 1 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy : ( Chú ý : Hai đồ thị hàm số y = g ( x ) và y = h ( x ) tiếp xúc với nhau tại điểm A ( 1 ; 2 ) ) Để phương trình (*)có đúng ba nghiệm phân biệt thì (2)phải có đúng ba nghiệm phân biệt ⇔ Đường thẳng y = 2 m và hai đồ thị trên có đúng ba điểm chung phân biệt. Vậy tổng tất cả các giá trị của mbằng 3.