Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = ( m − 1 ) x 4 − ( m 2 − 2 ) x 2 + 2019 đạt cực tiểu tại x = − 1 .

Giải thích

Tập xác định: D = R Ta có: y ′ = 4 ( m − 1 ) x 3 − 2 ( m 2 − 2 ) x * Điều kiện cần: Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = − 1 là f ′ ( − 1 ) = 0 ⇔ − 4 ( m − 1 ) + 2 ( m 2 − 2 ) = 0 ⇔ 2 m 2 − 4 m = 0 ⇔ [ m = 0 m = 2 ​ ​ * Điều kiện đủ: Trường hợp 1: m = 0 hàm số trở thành y = − x 4 + 2 x 2 + 2019 Ta có: y ′ = 0 ⇔ − 4 x 3 + 4 x = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = − 1 x = 0 x = 1 ​ Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = − 1 nên loại m = 0 . Trường hợp 2: m = 2 hàm số trở thành y = x 4 − 2 x 2 + 2019 . Ta có: y ′ = 0 ⇔ 4 x 3 − 4 x = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = − 1 x = 0 x = 1 ​ Bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = − 1 . → Chọn m = 2 . Vậy với m = 2 thì hàm số y = ( m − 1 ) x 4 − ( m 2 − 2 ) x 2 + 2019 đạt cực tiểu tại x = − 1 . Cách 2: Kiểm tra điều kiện đủ, (Lưu Thêm). -Với m = 0 , hàm số trở thành y = − x 4 + 2 x + 2019 . y ′ = − 4 x 3 + 4 x y ′′ = − 12 x 2 + 4 Ta có: { y ′ ( − 1 ) = 0 y ′′ ( − 1 ) = − 8 < 0 ​ , suy ra hàm số đạt cực đại tại x = − 1 nên loại m = 0 . -Với m = 2 , hàm số trở thành y = x 4 − 2 x 2 + 2019 . y ′ = 4 x 3 − 4 x y ′′ = 12 x 2 − 4 Ta có: { y ′ ( − 1 ) = 0 y ′′ ( − 1 ) = 8 > 0 ​ , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = − 1 nên chọn m = 2 . Kết luận: m = 2 .