Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đoạn [ − 3 2 π ​ ; 3 π ​ ] là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 1 ) < lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 4 cos s x + m ) + 1

Giải thích

Để đoạn [ − 3 2 π ​ ; 3 π ​ ] là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 1 ) < lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 4 cos s x + m ) + 1 thì: lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 1 ) < lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 4 cos s x + m ) + 1 , ∀ x ∈ [ − 3 2 π ​ ; 3 π ​ ] ⇔ lo g 5 1 ​ ​ ( cos 2 x + 1 ) < lo g 5 1 ​ ​ ( 5 cos 2 x + 4 cos s x + m ​ ) + 1 , ∀ x ∈ [ − 3 2 π ​ ; 3 π ​ ] ⇔ { cos 2 x + 4 cos s x + m > 0 5 cos s 2 x + 5 > cos 2 x + 4 cos s x + m ​ , ∀ x ∈ [ − 3 2 π ​ ; 3 π ​ ] ⇔ { m > − cos 2 x − 4 cos s x m < 4 cos 2 x + 4 cos s x + 5 ​ , ∀ x ∈ [ − 3 2 π ​ ; 3 π ​ ] (1) Đặt t=cosx. Khi đó ta có (1) trở thành: { m > − t 2 − 4 t m < 4 t 2 − 4 t + 5 ​ , ∀ x ∈ [ − 2 1 ​ ; 1 ] + Để m > − t 2 − 4 t , ∀ x ∈ [ − 2 1 ​ ; 1 ] ⇔ m> [ − 2 1 ​ ; 1 ] ma x ​ ( − t 2 − 4 t ) (2) Xét hàm số f(t)= 4 t 2 − 4 t + 5 , ∀ x ∈ [ − 2 1 ​ ; 1 ] .Ta có g'(t)=8t-4=0 ⇔ t= 2 1 ​ g(- 2 1 ​ )=8, g(1)=5, g( 2 1 ​ )=4 .Do đó [ − 2 1 ​ ; 1 ] min ​ g(t)=4 nên (3) ⇔ m<4 Vậy m ∈ ( 4 7 ​ ; 4 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.