Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 3 1 ​ x 3 − m x 2 + ( m 2 − m + 1 ) x + 1 đạt cực đại tại điểm x = 1 .

Giải thích

+ TXĐ D = R . + y ′ = x 2 − 2 m x + m 2 − m + 1 . Hàm số y = 3 1 ​ x 3 − m x 2 + ( m 2 − m + 1 ) x + 1 đạt cực đại tại điểm x = 1 ⇒ y ′ ( 1 ) = 0 ⇔ 1 2 − 2 m .1 + m 2 − m + 1 = 0 ⇔ m 2 − 3 m + 2 = 0 ⇔ [ m = 1 m = 2 ​ + Với m = 1 , y ′ = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1 ) 2 ≥ 0 , ∀ x ∈ R . y ′ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Hàm số y = 3 1 ​ x 3 − m x 2 + ( m 2 − m + 1 ) x + 1 đồng biến trên R khi m = 1 . Vậy m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. + Với m = 2 , y ′ = x 2 − 4 x + 3 , y ′ = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 . ⇔ [ x = 1 x = 3 ​ y ′′ = 2 x − 4 ⇒ y ′′ ( 1 ) = 2.1 − 4 < 0 ⇒ Hàm số y = 3 1 ​ x 3 − m x 2 + ( m 2 − m + 1 ) x + 1 đạt cực đại tại điểm x = 1 khi m = 2 .