Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số y = x + 1 2 x + 1 ​ tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MN = 2 3 ​ .

Giải thích

Chọn D Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng ( d ) và đồ thị hàm số y = x + 1 2 x + 1 ​ x + 1 2 x + 1 ​ = x + m − 1 , ( x  = − 1 ) ⇔ 2 x + 1 = ( x + m − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ x 2 + ( m − 2 ) x + m − 2 = 0 ( 2 ) Phương trình x + 1 2 x + 1 ​ = x + m − 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt x 1 ​ , x 2 ​  = − 1. ⇔ { △ > 0 1 − m + 2 + m − 2  = 0 ​ ⇔ { ( m − 2 ) 2 − 4 ( m − 2 ) > 0 1  = 0 ​ ⇔ m 2 − 8 m + 12 > 0 ⇔ [ m < 2 m > 6 ​ Gọi M ( x 1 ​ ; x 2 ​ + m − 1 ) , N ( x 2 ​ ; x 2 ​ + m − 1 ) là giao điểm của hai đồ thị. Ta có MN = 2 3 ​ ⇔ M N 2 = 12 ⇔ ( x 2 ​ − x 1 ​ ) 2 + ( x 2 ​ − x 1 ​ ) 2 = 12 ⇔ x 2 2 ​ − x 1 2 ​ − 2 x 1 ​ x 2 ​ = 6 ⇔ ( x 1 ​ + x 2 ​ ) 2 − 4 x 1 ​ x 2 ​ − 6 = 0 ⇔ ( m − 2 ) 2 − 4 ( m − 2 ) − 6 = 0 ⇔ m 2 − 8 m + 6 = 0 ⇔ [ m = 4 + 10 ​ m = 4 − 10 ​ ​ So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị m = 4 ± 10 ​ .