Câu hỏi

Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình: ( x − 3 a ) ( x − a − 3 ) < 0 đúng với mọi 1 ≤ x ≤ 3 .

Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình:

$(x - 3 a) (x - a - 3) < 0$ đúng với mọi $1 \leq x \leq 3$ .

R. Roboctvx94

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Trước hết ta viết lại bất phương trình đã cho dưới dạng: f ( x ) = x 2 − ( 4 a + 3 ) x + 3 a 2 + 9 a < 0 Bất phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x ≤ 3 khi và chỉ khi: x 1 < 1 < 3 < x 2 ⇔ { f ( 1 ) < 0 f ( 3 ) < 0 f ( 1 ) = 3 a 2 + 5 a − 2 < 0 ⇔ − 2 < a < 3 1 ( 1 ) F ( 3 ) = 3 a 2 − 3 a < 0 ⇔ 0 < a < 1 ( 2 ) Kết hợp (1) với (2) ta được: 0 < a < 3 1

Trước hết ta viết lại bất phương trình đã cho dưới dạng:

$f (x) = x^{2} - (4 a + 3) x + 3 a^{2} + 9 a < 0$

Bất phương trình nghiệm đúng với $1 \leq x \leq 3$ khi và chỉ khi:

$x_{1} < 1 < 3 < x_{2} \Leftrightarrow {f (1) < 0 f (3) < 0$
$f (1) = 3 a^{2} + 5 a - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < a < \frac{1}{3} (1)$
$F (3) = 3 a^{2} - 3 a < 0 \Leftrightarrow 0 < a < 1 (2)$
Kết hợp (1) với (2) ta được: $0 < a < \frac{1}{3}$