Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn hệ thức y = x + 1 1 ​ + x − 4 8 ​

Giải thích

y = x + 1 1 ​ + x − 4 8 ​ = ( x + 1 ) ( x − 4 ) 9 x + 4 ​ Ta thấy x + 1 v a ˋ x − 4 là hai số cách nhau 5 đơn vị, suy ra ( x + 1 ) ( x − 4 ) là tích của một số chẵn và một số lẻ. Suy ra ( x + 1 ) ( x − 4 ) là số chẵn. Như vậy để y ∈ Z thì ⎩ ⎨ ⎧ ​ [ 9 x + 4 = 0 ( l o ạ i v ı ˋ x ∈ Z ) ∣ 9 x + 4 ∣ ≥ ∣ ( x + 1 ) ( x − 4 ) ∣ ​ 9 x + 4 l a ˋ s o ^ ˊ c h a ˘ ~ n ​ 9x+4 là số chẵn khi x = 2 k , k ∈ Z ∣ 9 x + 4 ∣ ≥ ∣ ( x + 1 ) ( x − 4 ) ∣ ⇔ ( x 2 − 3 x − 4 ) 2 − ( 9 x + 4 ) 2 ≤ 0 ⇔ ( x 2 − 12 x − 8 ) ( x 2 + 6 x ) ≤ 0 ⇔ { x 2 − 12 x − 8 ≤ 0 x 2 + 6 x ≥ 0 ​ h o ặ c { x 2 − 12 x − 8 ≥ 0 x 2 + 6 x ≤ 0 ​ ⇔ [ 0 ≤ x ≤ 6 + 2 11 ​ − 6 ≤ x ≤ 6 − 2 11 ​ ​ Mà x ∈ Z nên 0 ≤ x ≤ 12 h o ặ c − 6 ≤ x ≤ − 1 Mặt khác x = 2 k nên x ∈ { − 6 ; − 4 ; − 2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 } Thử lại ta thấy x = − 6 v a ˋ x = 0 thỏa. Với x = − 6 t h ı ˋ y = − 1 Với x = 0 t h ı ˋ y = − 1 Vậy các cặp số nguyên cần tìm là ( − 6 ; − 1 ) ; ( 0 ; − 1 ) .