Tìm số hạng chứa x 2 trong khai triển của biểu thức P ( x ) = ( 3 x + x − x 2 ) n với n là số nguyên dương thỏa mãn C n 2 ​ + n A n 3 ​ ​ = 70.

Giải thích

Xét C n 2 ​ + n A n 3 ​ ​ = 70 ( 1 ) ( Điều kiện: n ∈ Z , n ≥ 3 ). ( 1 ) ⇔ 2 ! ( n − 2 ) ! n ! ​ + n . ( n − 3 ) ! n ! ​ = 70 ⇔ 2 n ( n − 1 ) ​ + ( n − 1 ) ( n − 2 ) = 70 ⇔ 3 n 2 − 7 n − 136 = 0 ⇔ [ n = 8 ( t m ) n = − 3 17 ​ ( L ) ​ Với n = 8 thì P ( x ) = ( 3 + x − x 2 ) 8 = k = 0 ∑ 8 ​ C 8 k ​ 3 8 − k [ x ( 1 − x ) ] k = k = 0 ∑ 8 ​ C 8 k ​ 3 8 − k x k ( i = 0 ∑ k ​ C k i ​ ( − 1 ) i x i ) ⇒ P ( x ) = k = 0 ∑ 8 ​ i = 0 ∑ k ​ C 8 k ​ C k i ​ 3 8 − k ( − 1 ) i x i + k Theo đề bài số hạng chứa x 2 thỏa mãn với i + k = 2 ( i , k ∈ Z , 0 ≤ i ≤ k ≤ 8 ) ⇒ [ i = 0 , k = 2 i = 1 , k = 1 ​ Vậy số hạng chứa x 2 là [ C 8 2 ​ C 2 0 ​ 3 6 ( − 1 ) 0 + C 8 1 ​ C 1 1 ​ 3 7 ( − 1 ) 1 ] x 2 = 2916 x 2