Tìm số các cặp số nguyên (a ; b) thỏa mãn lo g a ​ b + 6 lo g b ​ a = 5 , 2 ≤ a ≤ 2020 ; 2 ≤ b ≤ 2021 .

Giải thích

Đặt t = lo g a ​ b , khi đó lo g a ​ b + 6 lo g b ​ a = 5 trở thành t + 6 t 1 ​ = 5 ⇔ t 2 − 5 t + 6 = 0 ⇔ [ t = 2 t = 3 ​ . Với t=2, suy ra: lo g a ​ b = 2 ⇔ b = a 2 . ⎩ ⎨ ⎧ ​ 2 ≤ a ≤ 2020 2 ≤ b ≤ 2021 b = a 2 ​ ⇒ { 2 ≤ a ≤ 2020 2 ≤ a 2 ≤ 2021 ​ ⇒ { 2 ≤ a ≤ 2020 1 , 41 ≈ 2 ​ ≤ a ≤ 2021 ​ ≈ 44.96 ​ Suy ra ta có 43 số a ∈ { 2 ; 3 ; 4 ; … + 3 m u ; 44 } , tương ứng có 43 số b ∈ { a i 2 ​ , i = 2 , 44 ​ } . Trường hợp này có 43 cặp. Với t=3, suy ra: lo g a ​ b = 3 ⇔ b = a 3 . Suy ra có 11 số a ∈ { 2 ; 3 ; 4 ; … + 3 m u ; 12 } , tương ứng có 11 số b ∈ { a i 3 ​ , i = 2 , 12 ​ } . Trường hợp này có 11 cặp. Vậy có 43+11=54 cặp.