Tìm nguyên hàm I = ∫ x 2 − 1 ​ d x

Giải thích

Đ ặ t x = cos t 1 ​ ; t ∈ [ 0 ; 2 π ​ ) ∪ [ π ; 2 3 π ​ ) , dx = cos 2 t sintdt ​ I = ∫ cos 2 t sint ​ cos 2 t 1 ​ − 1 ​ dt = ∫ cos 2 t sint ​ cos 2 t 1 − cos 2 t ​ ​ dt = ∫ cos 3 t sin 2 t ​ dt = ∫ cos 3 t 1 − cos 2 t ​ dt = ∫ cos 3 t dt ​ − ∫ cost dt ​ J = ∫ cos 3 t dt ​ = ∫ cos 4 t cost ​ dt = ∫ ( 1 − sin 2 t ) 2 cost ​ dt Đ ặ t u = sint ⇔ du = cost . dt ⇒ J = ∫ ( 1 − u 2 ) 2 du ​ = ∫ ( u − 1 ) 2 . ( u + 1 ) 2 du ​ = 4 1 ​ ∫ ( u − 1 1 ​ − u + 1 1 ​ ) 2 du J = 4 1 ​ ∫ ( ( u − 1 ) 2 1 ​ + ( u + 1 ) 2 1 ​ − ( u − 1 ) ( u + 1 ) 2 ​ ) du = 4 1 ​ ∫ ( ( u − 1 ) 2 1 ​ + ( u + 1 ) 2 1 ​ − u + 1 1 ​ − u − 1 1 ​ ) du J = 4 1 ​ . ( − u + 1 1 ​ − u − 1 1 ​ + ln ∣ u + 1 ∣ − ln ∣ u − 1 ∣ ) + C = 4 1 ​ . ( − u + 1 1 ​ − u − 1 1 ​ + ln ∣ ∣ ​ u − 1 u + 1 ​ ∣ ∣ ​ ) + C K = ∫ cost dt ​ = ∫ cos 2 t cost . dt ​ = ∫ 1 − sin 2 t cost . dt ​ = − 2 1 ​ ∫ ( sint − 1 1 ​ − sint + 1 1 ​ ) . d ( sint ) = 2 1 ​ ( ln ∣ sint + 1 ∣ − ln ∣ sint − 1 ∣ )