Tìm m để phương trình x 6 + 6 x 4 − m 3 x 3 + 15 − 3 m 2 x 2 − 6 m x + 10 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc [ 2 1 ​ ; 2 ]

Giải thích

Phương trình đã cho tương đương với ( x 6 + 6 x 4 + 12 x 2 + 8 ) − ( m 3 x 3 + 2 m 2 x 2 + 3 m x + 1 ) + ( 3 x 2 − 3 m x + 3 ) = 0 ⇔ ( x 2 + 2 ) 3 − ( m x + 1 ) 3 + 3 ( x 2 − m x + 1 ) = 0 ⇔ ( x 2 − m x + 1 ) [ ( x 2 + 2 ) 2 + ( x 2 + 2 ) ( m x + 1 ) + ( m x + 1 ) 2 + 3 ] = 0 ⇔ x 2 − m x + 1 = 0 (Vì a 2 + ab + b 2 = ( a + 2 1 ​ b ) 2 + 4 3 ​ b 2 ≥ 0 , ∀ a , b ) ⇔ x + x 1 ​ = m (Do x = 0 không thỏa mãn phương trình này) Xét hàm số f ( x ) = x + x 1 ​ trên đoạn [ 2 1 ​ ; 2 ] . Ta có: f ′ ( x ) = 1 − x 2 1 ​ f ′ ( x ) = 0 ⇔ [ x = − 1  ∈ ( 2 1 ​ ; 2 ) x = 1 ∈ ( 2 1 ​ ; 2 ) ​ Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn [ 2 1 ​ ; 2 ] thì 2 < m ≤ 2 5 ​ Vậy tất cả các giá trị cần tìm của m là 2 < m ≤ 2 5 ​