Ta có: n 4 + n 2 + 1 = ( n 4 + 2 n 2 + 1 ) − n 2
= ( n 2 + 1 ) 2 − n 2 = ( n 2 + 1 − n ) ( n 2 + 1 + n )
Vì n 4 + n 2 + 1 là số nguyên tố nên n 4 + n 2 + 1 chỉ có 2 ước là 1 và chính số đó.
Mà n 2 + 1 − n ≤ n 2 + 1 + n
Do đó n 2 + 1 − n = 1 ⇔ n 2 − n = 0 ⇔ n ( n − 1 ) = 0
⇔ [ n = 0 n − 1 = 0 ⇔ [ n = 0 n = 1
Thử lại
+ n=0 thì n 4 + n 2 + 1 = 1 (không thỏa mãn)
+ n=1 thì n 4 + n 2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 (thỏa mãn)
Vậy n=1 là số cần tìm
Ta có: n4+n2+1=(n4+2n2+1)−n2
=(n2+1)2−n2=(n2+1−n)(n2+1+n)
Vì n4+n2+1 là số nguyên tố nên n4+n2+1 chỉ có 2 ước là 1 và chính số đó.
