Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp một trụ cho trước.

Giải thích

Gọi r và h là bán kinh và chiều cao của hình trụ và x, y là bán kính và chiều cao của hình nón ngoại tiếp. Thể tích của hình nón là: V = 3 1 ​ π x 2 y Các tam giác SOE và SID đồng dạng. ⇒ x y ​ = r y − h ​ ⇒ y = x − r h x ​ ⇒ V = 3 1 ​ πh x − r x 3 ​ . Ta có: x 3 x − r ​ = r 2 1 ​ x 3 r 2 ( x − r ) ​ = r 2 1 ​ ( x r ​ ) 2 ( 1 − x r ​ ) = 2 r 2 1 ​ ( x r ​ ) 2 ( 2 − x 2 r ​ ) ≤ 2 r 2 1 ​ [ 3 1 ​ ( x r ​ + x r ​ + 2 − x 2 r ​ ) ] 3 = 27 r 2 4 ​ ⇒ x − r x 3 ​ ≥ 4 27 r 2 ​ ⇒ V ≥ 4 9 π r 2 h ​ ⇒ minV = 4 9 π r 2 h ​ Dấu bằng xảy ra khi : x r ​ = 2 ( 1 − x r ​ ) ⇔ x = 2 3 r ​