Câu hỏi

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x ) = ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x 1 ) + ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x 1 ) v ớ i x ∈ ( 0 ; 2 π )

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$f (x) = (1 + cos x) (1 + \frac{1}{sin x}) + (1 + sin x) (1 + \frac{1}{cos x}) v ớ i x \in (0; \frac{π}{2})$

R. Robo.Ctvx27

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Viết lại f(x) dưới dạng f ( x ) = ( cos x + sin x ) + sin x 1 + cos x 1 + sin x cos x + cos x sin x + 2 = ( cos x + sin x ) + sin x cos x 1 + ( sin x + cos x ) + 2 ( 1 ) Áp dụng công thức sin x cos x = 2 ( sin x + cos x ) 2 − 1 Và đặt t = sin x + cos x = 2 cos ( x − 4 π ) Do 0 < x < 2 π ⇒ − 4 π < x − 4 π < 4 π ⇒ 1 < t ≤ 2 Khi đó từ (1) xét hàm số F ( t ) = t + 2 t 2 − 1 1 + t + 2 = t + t − 1 2 với 1 < t ≤ 2 Ta có F ′ ( t ) = 1 − ( t − 1 ) 2 2 < 0 ∀ t ∈ ( 1 , 2 ] ⇒ 1 < t ≤ 2 min F ( t ) = F ( 2 ) = 4 + 3 2 ⇔ t = 2 Từ (2) suy ra 0 < x ≤ 2 π min F ( x ) = 1 < t ≤ 2 min F ( t ) = 4 + 3 2 ⇔ t = 2 ⇔ x = 4 π

Viết lại f(x) dưới dạng $f (x) = (cos x + sin x) + \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} + \frac{sin x}{cos x} + 2$

$= (cos x + sin x) + \frac{1 + ( sin x + cos x )}{sin x cos x} + 2 (1)$

Áp dụng công thức $sin x cos x = \frac{( sin x + cos x ) ^{2} - 1}{2}$

Và đặt $t = sin x + cos x = 2 cos (x - \frac{π}{4})$

Do $0 < x < \frac{π}{2} \Rightarrow - \frac{π}{4} < x - \frac{π}{4} < \frac{π}{4} \Rightarrow 1 < t \leq 2$

Khi đó từ (1) xét hàm số $F (t) = t + \frac{1 + t}{\frac{t ^{2} - 1}{2}} + 2 = t + \frac{2}{t - 1}$

với $1 < t \leq 2$

Ta có $F^{'} (t) = 1 - \frac{2}{( t - 1 ) ^{2}} < 0$ $\forall t \in (1, 2]$

$\Rightarrow 1 < t \leq 2 min F (t) = F (2) = 4 + 32 \Leftrightarrow t = 2$

Từ (2) suy ra $0 < x \leq \frac{π}{2} min F (x) = 1 < t \leq 2 min F (t) = 4 + 32 \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4}$

Câu hỏi tương tự

Chứng minh khi m thay đổi, họ parabol (P m ): f ( x ) = 2 x 2 + 2 ( m − 1 ) x + m 2 + 4 m luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định

Xác nhận câu trả lời

Cho 12 bông hoa hồng, trong đó có 6 bông màu đỏ, 6 bông màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bông hoa cắm vào một lọ hoa để trong lọ có đúng hai bông màu vàng

Xác nhận câu trả lời

Tại giải thi đấu bóng đá có 32 đội thi đấu theo thể thức đấu loại (mỗi trận nhất định phải có đội thắng, thua và chỉ có đội thắng mới được thị đấu tiếp). Hỏi ban tổ chức phải tổ chức tất cả bao nhiêu ...

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng:

Xác nhận câu trả lời

P h ươ n g t r ı ˋ nh ( x 2 + x + 1 ) m = x 2 + 5 x + 1. Đ ể p h ươ n g t r ı ˋ nh c o ˊ n g hi ệ m x < 1 khi v a ˋ c h ỉ khi

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG